Fonction W De Lambert

Fonction W de Lambert

La fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Johann Heinrich Lambert, aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction f définie par :

$\forall w\in\Complex,\quad f(w) = w e^w$.

Ce qui implique que pour tout nombre complexe z, nous avons :

$W(z) e^{W(z)} = z\,$

Puisque la fonction f n'est pas injective, la fonction W est multiforme.

Représentation graphique de la fonction W de Lambert

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −¹⁄_e (ce qui exige w ≥ −1) alors il existe une fonction et une seule W₀ définie, dont la représentation graphique figure à droite, sachant que la fonction qui se limite aux arguments réels x ≤ −¹⁄_e est la fonction W_-1.

Les valeurs remarquables sont :

• $W\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{i\pi}{2}$

• $W_0(0)=0\,$

• $W_0\left(-\frac{1}{e}\right)=-1\,$

• $W_0(1)=\Omega\,$

• $W_0\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)=-\ln 2$

• $W_0(e)=1\,$

Où Ω est la constante oméga.

La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires. Elle est utile en combinatoire, par exemple dans l'énumération des arbres. Elle peut être utilisée pour résoudre diverses équations qui comportent des exponentielles et apparaît aussi dans les solutions d'équations différentielles à temps retardés, telles que y'(t) = ay(t − 1).

Par différentiation, on peut montrer que W satisfait l'équation différentielle :

$z(1 + W) \frac{\mathrm dW}{\mathrm dz} = W$ pour z ≠ −¹⁄_e.

La fonction W, et beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = we^w :

$\int W(x)\,\mathrm dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C$

Sa dérivée est:

$W'(x)=\frac{1}{(1+W(x))e^{W(x)}}=\frac{1}{x+e^{W(x)}}=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}$

Méthodes de calcul

Par la série de Taylor

Représentation de la fonction W de Lambert de plan complexe

La série de Taylor de W₀ au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange et est donnée par

$W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n$

Le rayon de convergence est égal à ¹⁄_e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –¹⁄_e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Par suite

On peut calculer W₀(x) de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w₀ égale à 1 et en calculant les termes de la suite

$w_{n+1}=xe^{-w_n}$.

Cette suite converge vers W₀(x). On a donc:

$\lim_{n\to+\infty}w_n =W_0(x)$

Où $x \in [-e^{-1};e]$

Utilisation

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à xe^x. À ce point la fonction W nous fournit la solution.

Exemples

Exemple 1

Par exemple, pour résoudre l'équation 2^t = 5t, nous divisons par 2^t pour obtenir 1 = 5t e^−ln(2)t, nous divisons alors par 5 et multiplions par − ln(2) pour obtenir ^−ln(2)⁄₅ = −ln(2)t exp(−ln(2)t). Maintenant l'application de la fonction W donne −ln(2)t = W(^−ln(2)⁄₅), soit t = ^{−W(ln(2)/5)}⁄_ln(2).

Exemple 2

Avec la fonction W de Lambert, on peut résoudre des équations du type x^x = z par:

$x=\frac{\ln(z)}{W(\ln z)}=e^{\left(W(\ln z)\right)}$

Exemple 3

Quand une tétration complexe infinie converge:

$z^{z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} \!$

la fonction W de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme:

$c=\frac{W(-\log(z))}{-\log(z)}$

où log(z) représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Exemple 4

La solution de l'équation:

$x \log_b \left(x\right) = a$

est donnée avec la fonction W de lambert.

$x = \frac{a \ln(b)}{W(a \ln(b))}$

Exemple 5

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode.

Diverses formules

$\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}$ (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

$\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}$

$\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}$

Représentations

Représentation de la partie réelle, de la partie imaginaire et du module de la fonction W de Lambert dans le plan complexe

$\scriptstyle z=\Re(W_0(x+iy))$

$\scriptstyle z=|\Im(W_0(x+iy))|$

$\scriptstyle z=|W_0(x+iy)|$

Généralisations

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations "algébriques-transcendantes" (en x) de la forme:

$e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$

ou a₀, c et r sont des constantes réelles. La solution est x = r + W(ce ^{− cr} / a_o) / c. Les généralisations de la fonction W de Lambert^[1] inclut:

• un lien jadis méconnu entre la relativité générale et la mécanique quantique en dimensions réduites, et décrit dans le journal de la gravité classique et quantique^[2] ou la partie de droite de l'équation (1) est maintenant un polynôme quadratique en x:

$e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)$

ou r₁ et r₂ sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme r_i et a_o sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une "classe" différente de fonctions. Quand r₁ = r₂, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W. Eq. (2) exprime l'équation governant le champ d'un dilaton - par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui consiste du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

• les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions).^[3] La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant une fraction de polynômes d'ordre infini en x:

$e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)$

ou r_i et s_i sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. Eq. (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel.

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1) comme vue récemment dans le domaine de physique atomique, moléculaire et optique^[4].

Notes

1. ↑ T.C. Scott et R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (avril 2006), pp.41-47, [1]; article Arxiv[2]
2. ↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, et T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; article Arxiv [4]
3. ↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon et J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; artcle Arxiv[6]
4. ↑ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini et J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]

Référence

• Corless et. al. ; « On the Lambert W function » Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996). http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf

Ce document provient de « Fonction W de Lambert ».