Fonction d'erreur

Pour les articles homonymes, voir Fonction, Erreur et erf.

Construction de la fonction d'erreur réelle.

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales.

$\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{ \sqrt{\pi} } \int_0^z e^{- \zeta^2 } d\zeta$

Intérêt de cette fonction

La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite X prenne une valeur dans l'intervalle [-z, z] est

$\operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)=\mathbb{P}(X\in[-z, z]).$

La fonction de répartition de X, ou fonction de répartition de la loi normale, usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur, dénommée erf, par la relation :

$\Phi(z)\ =\ \int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\, dt = \frac12\left(1+\operatorname{erf}\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)=\mathbb{P}(X\le z),$

ou bien encore

$\operatorname{erf}(z)\ =\ 2\Phi\left(z\sqrt{2}\right)-1.$

La fonction d'erreur intervient également dans l'expression des solutions de l'équation de la chaleur, quand les conditions aux bords sont données par la fonction de Heaviside.

Calcul numérique

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée mais par un développement en série entière (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes, $\quad \operatorname{erf}(z) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\times n!}\,z^{2n+1}= \frac{2}{\sqrt{\pi}}( z - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{10} - \frac{z^7}{42} + O(z^9) ).$ Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles si l'on programme soi-même une application en langage C ou Fortran :

• En $v(0),\quad \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \left ( x + \frac{2}{3}\, x^3 + \frac{4}{15}\, x^5\right ) + o( x^6\,e^{-x^2} )$ (avec une erreur inférieure à 6 × 10 ^{− 4} pour x < 0,50)
• En $v(+\infty),\quad \operatorname{erf}(x) = 1 - e^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}. \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^3} + \frac{3}{4x^5} - \frac{15}{8x^7} \right ) + o( x^{-8}.e^{-x^2} )$ (avec une erreur inférieure à 2 × 10 ^{− 4} pour x > 1,75)
• Pour $x>0,\quad \sqrt{ 1-e^{-x^2} } \leq \operatorname{erf}(x) \leq \sqrt{1-e^{-4x^2 / \pi}}$

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10 ^{− 3} près).

• La fonction $x\mapsto \operatorname{erf}(x)\times e^{x^2}$ est la solution de l'équation différentielle $y''-2x\,y'-2y=0$ valant 0 en 0 et de dérivée $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$.

Extensions

Il arrive que la fonction plus générale E_n définie par :

$E_n(z) = n! \int_0^z e^{-\zeta^n}d\zeta$

soit utilisée et E₂ est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

• La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :

$\operatorname{erfc}\left( z \right) = 1 - \operatorname{erf}\left( z \right) = \frac2{ \sqrt{\pi} }\int_z^{\infty}e^{-\zeta^2}d\zeta$

• La fonction ierfc, (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :

$\operatorname{ierfc}\left( z \right) = \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}} - z\cdot\operatorname{erfc}\left( z\right)$

• La fonction d'erreur imaginaire notée erfi est définie par^[1] :

$\operatorname{erfi}\left( z \right) = \frac{\operatorname{erf}\left(i z \right)}{i} = \frac{2}{ \sqrt{\pi} }\int_{0}^ze^{\zeta^2}d\zeta$

Elle n'est souvent définie que dans certains logiciels de calcul formel, tels que Mathematica et Maple. Elle peut néanmoins être décrite à l'aide d'un développement en série :

$\quad \operatorname{erfi}(z) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)\times n!}\,z^{2n+1}= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{10} + \frac{z^7}{42} + O(z^9) \right).$

Fonction réciproque

Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à k=K)

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules statistiques. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en série :

$\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\right )^{2k+1}$

où c₀ = 1 et

$c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}$

On obtient le développement suivant :

$\operatorname{erf}^{-1}(z)=\frac12\sqrt{\pi}\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right )$

Référence

1. ↑ http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Erfi/07/01/01/

Milton Abramowitz (en) et Irene Stegun (en), eds. Handbook of Mathematical Functions (en) with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972, Chapitre 7

Voir aussi

Articles connexes

• Loi normale
• Intégrale de Fresnel

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Erf », MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Erfi », MathWorld