Fonction multiforme

Fonction multiforme

Fonction multivaluée

Ce diagramme ne représente pas une vraie fonction car à l'élément 3 appartenant à X correspond deux éléments dans Y : b et c.

En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée multiforme) est une fonction qui associe à une variable plusieurs valeurs. À proprement parler, ce n'est donc pas une fonction puisque par définition une fonction associe une unique valeur à un point de son domaine.

Elles proviennent souvent des fonctions qui ne sont pas injectives. Elles ne possèdent pas à proprement parler de fonctions réciproques mais on peut les considérer dans le cadre des fonctions multivaluées.

Ces relations sont particulièrement intéressantes en analyse complexe où l'on peut considérer des déterminations, c'est-à-dire des restrictions sur ces relations qui en font des fonctions et qui permettent de calculer certaines intégrales réelles par le biais du théorème des résidus comme ce sera illustré plus bas.

Sommaire

Exemples

La racine carrée

Article détaillé : racine carrée.
Article détaillé : racine d'un nombre complexe.
  • Dans les réels, à chaque élément positif x, la relation "racine carrée" fait correspondre deux éléments | y | et − | y | avec | y | 2 = x. On se restreint de manière habituelle à la valeur positive | y | pour avoir alors la fonction racine carrée.
  • Dans les complexes, en définissant un élément z du plan complexe \mathbb C par z = | z | eiθ avec θ l'argument de z, les racines carrées de z sont les nombres wk (k\in\mathbb Z) donnés par :
 w_k = \sqrt{|z|}\mathrm{e}^{i\theta/2}\mathrm{e}^{i\pi k}
on vérifie en effet que  w_k^2 = |z|\mathrm{e}^{i\theta} \mathrm{e}^{2i\pi k} = z puisque e2iπk vaut l'unité pour tout entier k.

Le logarithme complexe

Article détaillé : logarithme complexe.

En définissant un élément z du plan complexe comme précédemment, le logarithme complexe de z sont les nombres wk (k\in \mathbb Z) donnés par :

wk = ln | z | + iθ + 2iπk

on vérifie en effet que exp(wk) = | z | eiθe2iπk = z puisque, comme précédemment, e2iπk vaut l'unité pour tout entier k.

Déterminations

Pour la racine carrée complexe et le logarithme complexe, on appelle détermination une restriction sur l'argument θ de la valeur correspondante. Plus explicitement, une détermination pour la racine carrée est donnée par :

 \sqrt{z} = \sqrt{|z|}\mathrm{e}^{i\theta/2}, \quad (\theta \in [\theta_0, \theta_0+2\pi[)

avec θ0 un angle quelconque caractérisant la détermination.

De même, une détermination pour le logarithme complexe est donnée par :

 \log{z} = \ln{|z|} + i\theta, \quad (\theta \in [\theta_0, \theta_0+2\pi[)

On appelle détermination principale du logarithme la restriction de l'argument à l'intervalle semi-ouvert [ − π,π[.

Remarquons que, à une détermination près, la fonction racine carrée complexe et le logarithme complexe sont des fonctions holomorphes sur tout le plan complexe excepté la demi-droite partant de l'origine et d'angle θ0 par rapport à l'axe des abscisses. Dans le cas de la détermination principale, les deux fonctions sont holomorphes sur \mathbb C\backslash]-\infty, 0] . La discontinuité sur l'axe réel négatif est illustrée sur les deux figures ci-dessous.

Application au calcul d'intégrales réelles

Considérer une détermination particulière permet, en s'aidant du théorème des résidus, de calculer certaines intégrales réelles qu'il serait autrement ardu de calculer.

Remarque : la relation suivante est souvent utilisée comme ce sera illustré dans l'exemple ci-dessous : zα = eαlog(z).

Exemple avec le logarithme complexe

Figure 3 : Illustration du contour γ (en bleu) employé pour le premier exemple. Les deux pôles simples \pm i sont représentés en rouge. La partie γR représente le cercle extérieur de rayon R, la partie γε représente le demi-cercle intérieur de rayon ε. γ1,2 sont les deux segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante :

 I = \int_0^{+\infty} {x^a\over 1+x^2}\mathrm{d}x

pour | a | < 1.

Solution : En considérant le contour γ illustré à la figure 3 ainsi que la détermination suivante du logarithme :

 \mathrm{log}(z) = \ln|z| + i\theta, \quad (\theta\in[0, 2\pi[)

(le contour "entoure" donc la discontinuité de la détermination que nous avons choisie), on obtient : pour 0 < | a | < 1 : I = {\pi\left(\sin(a\pi/2)+\sin(3a\pi/2)\right)\over \sin(a\pi/2)} et pour a = 0, l'intégrale vaut π.


Exemple avec la racine carrée complexe

Figure 4 : Illustration du contour γ (en bleu) employé pour le second exemple. Les deux points de branchement \pm 1 sont représentés en rouge. Le pôle simple restant (l'origine) est représenté en vert. γR représente le cercle extérieur de rayon R, γε et son homologue représentent les demi-cercles intérieurs de rayon ε, les γi sont les segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante par le biais des résidus :

 I = \int_{1}^{+\infty} {\mathrm{d}x\over x\sqrt{x^2-1}}

(la fonction est uniformisée par la coupure le long de l'axe réel reliant -\infty à -1 et 1 à +\infty.)

Solution : l'intégrande a une primitive (à savoir -\mathrm{atan}\left[\left(x^2-1\right)^{-1/2}\right] ) et on a donc immédiatement  I = {\pi\over 2} . On obtient ce même résultat en considérant le contour γ illustré à la figure 4 ci-contre et en utilisant :

\sqrt{z^2-1} = \sqrt{z-1}\sqrt{z+1}

Pour le premier terme du produit, on considérera la détermination suivante :

 \sqrt{z-1} = \sqrt{|z-1|}\mathrm{e}^{i\theta_1/2},\quad \theta_1 \in [0, 2\pi[ ,

pour l'autre, on considérera la détermination principale :

\sqrt{z+1} = \sqrt{|z+1|}\mathrm{e}^{i\theta_2/2},\quad \theta_2\in [-\pi, \pi[.

sous ces déterminations, la fonction est holomorphe sur  \mathbb C\backslash \left(]-\infty, -1]\cup[+1, \infty[\right) .


Surfaces de Riemann

Article détaillé : surface de Riemann.
Surface de Riemann associée à la fonction racine carrée.

La théorie peu opérante des fonctions multivaluées pour les fonctions de la variable complexe est remplacée dans les mathématiques modernes par le concept plus abstrait de surface de Riemann.

Ce point de vue consiste à considérer le domaine de définition d'une fonction multivaluée comme d'un objet plus complexe (une variété complexe de dimension 1).

Voir aussi

Notes

  1. on parle ici de singularité au sens large du terme (et donc pas uniquement d'une singularité isolée) c'est-à-dire que la fonction n'est pas analytique en la singularité mais que n'importe quel voisinage ouvert non vide de la singularité contient au moins un point pour lequel la fonction est analytique. [MATHEWS, HOWELL - p.232]

Références

  • Murray R. SPIEGEL, Variables Complexes, Schaum, (ISBN 2-7042-0020-3)
  • John H. MATHEWS, Russel W. HOWELL, "Complex Analysis for Mathematics and Engineering", 3d edition, 1997, Jones and Bartlett Publishers International, (ISBN 0-7637-0270-6)
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction multivalu%C3%A9e ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction multiforme de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • fonction multiforme — daugiareikšmė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. many valued function; multiple valued function; multivalent function vok. mehrdeutige Funktion, f; mehrwertige Funktion, f rus. многозначная функция, f pranc. fonction multiforme …   Fizikos terminų žodynas

  • multiforme — [ myltifɔrm ] adj. • 1440; lat. multiformis ♦ Qui se présente sous des formes variées, des aspects, des états divers et nombreux. ⇒ protéiforme. Menace multiforme. « l eau informe et multiforme » (Baudelaire). ● multiforme adjectif Qui a ou prend …   Encyclopédie Universelle

  • Fonction exponentielle — Pour les articles homonymes, voir Exponentielle. Courbe représentative de la fonction En mathématiques, la fon …   Wikipédia en Français

  • Fonction exponentielle (mathématiques élémentaires) — Exponentielle Pour les articles homonymes, voir Exp. Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu) …   Wikipédia en Français

  • Fonction exponentielle­ — Exponentielle Pour les articles homonymes, voir Exp. Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu) …   Wikipédia en Français

  • Fonction multivaluée — Ce diagramme représente une multifonction : à chaque élément de X on fait correspondre une partie de Y ; ainsi à l élément 3 de X correspond la partie de Y formée des deux points b et c. En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi …   Wikipédia en Français

  • fonction multivalente — daugiareikšmė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. many valued function; multiple valued function; multivalent function vok. mehrdeutige Funktion, f; mehrwertige Funktion, f rus. многозначная функция, f pranc. fonction multiforme …   Fizikos terminų žodynas

  • fonction non uniforme — daugiareikšmė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. many valued function; multiple valued function; multivalent function vok. mehrdeutige Funktion, f; mehrwertige Funktion, f rus. многозначная функция, f pranc. fonction multiforme …   Fizikos terminų žodynas

  • Fonction W De Lambert — La fonction W de Lambert, nommée ainsi d après Johann Heinrich Lambert, aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction f définie par : . Ce qui implique que pour tout nombre complexe z, nous avons : Puisque la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction w de lambert — La fonction W de Lambert, nommée ainsi d après Johann Heinrich Lambert, aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction f définie par : . Ce qui implique que pour tout nombre complexe z, nous avons : Puisque la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”