Fonction puissance

En mathématiques, et plus spécialement en analyse, les fonctions puissances sont les fonctions définies par

f_a(x) = x^a

où a peut désigner un entier naturel, un entier relatif, ou même un réel que l'on appelle l'exposant de la fonction puissance. Selon la nature de a, l'ensemble de définition de la fonctionf_a peut changer.

Définie en général comme fonction de la variable réelle, on peut la trouver dans certains cas comme fonction complexe. Les fonctions puissances à exposant entier servent de base dans la construction des fonctions polynômes et dans les développement en séries. Les fonctions puissances à exposant réel servent à modéliser des relations tant en physique qu'en biologie ou en économie.

Fonction de la variable réelle

Exposant entier naturel

Fonctions puissances pour un exposant 0 (noir), 1 (bleu), 2 (rouge), 3 (vert), 4 (orange), 5 (violet).

Ce sont les fonctions définies sur $\scriptstyle R$ par

$f_n(x)= x^n= \underbrace{x \times \cdots \times x}_n,$

Pour n pair, la fonction associée est paire, c'est-à-dire que, pour tour réel x, f(-x) = f(x). et la courbe représentative possède l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Pour n impair, la fonction est impaire, c'est-à-dire que, pour tout réel x, f(-x) = - f(x), et la courbe représentative possède le point O comme centre de symétrie.

Les premières valeurs de n correspondent à des fonctions de référence :

• pour n=1, il s'agit de la fonction linéaire f(x)=x
• pour n=2, il s'agit de la fonction carré. C'est la seule des fonctions puissances dont la représentation graphique donne une parabole
• pour n=3, il s'agit de la fonction cube.
• le cas n=0 est à étudier de près : par convention, on dira que la fonction $x \mapsto x^0$ est la fonction constante 1.

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses entre -1 et 1, et plus sa pente est raide en dehors de cet intervalle. En particulier, si m < n, alors pour tout x de l'intervalle ]0,1[, xⁿ < x^m et pour tout x supérieur à 1, xⁿ > x^m.

La fonction constante 1 étant mise à part, les fonctions puissances sont toutes strictement croissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours plus l'infini et leur valeur en 0 est toujours 0. Pour un exposant strictement supérieur à 1, la courbe possède, en plus l'infini et en moins l'infini, une branche parabolique d'axe (Oy). Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est décroissante, et le cas des exposants impair, pour lesquels la fonction est strictement croissante. Si l'exposant est impair et différent de 1, la courbe possède un point d'inflexion à l'origine.

Une fonction puissance est toujours dérivable sur $\scriptstyle R$. Si l'exposant est nul, la dérivée de f est nulle, sinon, sa fonction dérivée est

f'_n(x) = nx^{n − 1}

De plus, si l'exposant est strictement supérieur à 1, cette fonction possède une dérivée nulle en 0.

Une telle fonction possède toujours des primitives définies par

$F_n(x)=\frac 1{n+1}x^{n+1} + Cste$

Les fonctions puissances à exposant entier servent à construire les fonctions polynômes. On les retrouve aussi dans le développement en série entière des autres fonctions.

Exposant entier négatif

Fonctions puissances pour un exposant - 1 (bleu), - 2 (rouge), - 3 (vert).

Ce sont les fonctions définies sur $\scriptstyle \R^*$ par

$f_{-n}(x)= x^{-n}=\frac 1{x^n}$

Pour n pair, la fonction associée est paire, c'est-à-dire que, pour tour réel x non nul, f(-x) = f(x). et la courbe représentative possède l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Pour n impair, la fonction est impaire, c'est-à-dire que, pour tout réel x non nul, f(-x) = - f(x), et la courbe représentative possède le point O comme centre de symétrie.

La première valeur de n correspond à une fonction de référence :

• pour n=1, il s'agit de la fonction inverse. C'est la seule des fonctions puissances dont la représentation graphique donne une hyperbole.

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses avant -1 et après 1, et plus sa pente est raide dans les intervalles ]-1 ; 0[ et ]0 , 1[. En particulier, si m < n, alors pour tout x de l'intervalle ]0,1[, x ^{− n} > x ^{− m} et pour tout x supérieur à 1, x ^{− n} < x ^{− m}.

Ces fonctions puissances sont toutes strictement décroissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours 0 et leur limite en 0 par valeurs positives est toujours plus l'infini . La courbe possède donc deux asymptotes d'équation x=0 et y=0. Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est croissante, et le cas des exposants impair, pour lesquels la fonction est strictement décroissante.

Une telle fonction puissance est toujours dérivable sur $\scriptstyle \R^*$.

$f'_{-n}(x) = -n\frac1{x^{n+1} }= -nx^{-n-1}$

Une telle fonction possède toujours des primitives définies sur ]- \infty ; 0[ ou sur ]0; + \infty[ par

$F_{-n}(x)=-\frac 1{n-1}x^{-n+1} + Cste = -\frac1{n-1}\frac 1{x^{n-1}}$, pour n différent de 1

F _{− 1}(x) = ln( | x | ) + Cste

Racines n-ièmes

Article détaillé : Racine d'un nombre.

Fonctions puissances pour un exposant 1/2 (bleu), 1/3(rouge).

Pour tout entier naturel non nul, la fonction f_n est une bijection

• de $[0;+ \infty[$ sur $[0;+ \infty[$; si n est pair
• de $\R$ sur $\R;$ si n est impair

Sa réciproque s'appelle la racine nième et peut aussi s'écrire sous forme de puissance :

$f_n^{-1}(x)=\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.

Sa limite en plus l'infini est toujours plus l'infini mais la courbe est tournée vers l'axe des abscisses. On parle alors de branche parabolique d'axe Ox. Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de f_{1 / n} est symétrique de celle de f_n (restreinte éventuellement à $[0; + \infty[$) par rapport à la droite d'équation y=x.

Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition sauf en 0 où la courbe possède pour tangente l'axe des ordonnées. La dérivée de f_{1 / n} se calcule à l'aide de la dérivée de la fonction réciproque et s'exprime par :

$f_{1/n}'(x)=\frac 1n \frac 1x x^{1/n}$

Preuve :

Le théorème de la dérivée de la réciproque assure que $f_{1/n}'=\frac 1{f_n'\circ f_{1/n}}$ en tout point où $f_n'\circ f_{1/n}$ ne s'annule pas. Donc pour tout x non nul, $f_{1/n}'(x)=\frac1{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac 1n \frac{x^{1/n}}{(x^{1/n})^n}= \frac 1n \frac 1x x^{1/n}$.

Elle possède des primitives définies sur leur ensemble de définition par

$F_{1/n}(x)=\frac n{n+1}x.x^{1/n} + Cste$

Exposant réel

Fonctions puissances pour un exposant -0,5 (rouge), 0 (noir), 0,6 (vert), 1(bleu), 1,7 (violet)

Étude générale

Grâce aux fonctions exponentielle et logarithme, on peut généraliser les fonctions puissances à tout exposant a réel. Pour tout réel x strictement positif. la fonction f_a est alors définie par:

f_a(x) = x^a = e^aln(x)

Selon les valeurs de a, elle est parfois prolongeable par continuité en 0 (voire à $\R^*$ ou $\R$ (cf supra). Selon les valeurs de a, le prolongement peut ou non être dérivable en 0. le sens de variation dépend du signe de a.

La convexité d'une fonction est liée au signe de sa dérivée seconde. Ici la convexité d'une fonction puissance est liée au signe de a(a-1).

Tableau récapitulatif

Valeur de a	Prolongeable en 0	Dérivable en 0	Sens de variation	Comportement à l'infini	Convexité
a < 0	non	non	décroissante	asymptote d:y = 0	convexe
a=0	oui	oui	constante	confondue avec d:y=1	droite
0< a < 1	oui	non	croissante	branche parabolique d'axe Ox	concave
a = 1	oui	oui	croissante	confondue avec d:y=x	droite
a>1	oui	oui	croissante	branche parabolique d'axe Oy	convexe

Dérivée et primitive

La fonction puissance est toujours dérivable sur $]0 ; + \infty[$ et sa dérivée s'exprime toujours sous la forme

f_a'(x) = ax^{a − 1}

Pour un exposant a différent de -1,, elle possède toujours des primitives sur ce même intervalle définies par

$F_a(x)=\frac{x^{a+1}}{a+1}$

Pour l'exposant -1, on retrouve comme primitive la fonction logarithme népérien appelé aussi parfois logarithme hyperbolique en référence à l'aire sous l'hyperbole représentant la fonction inverse.

Croissances comparées

Les fonctions logarithmes et exponentielle de base b supérieure à 1 et les fonctions puissances d'exposant a positif ont toutes une limite infinie en plus l'infini. Il est donc intéressant de définir leur force respective et de comparer leur croissance. On démontre que l'exponentielle est toujours plus forte que la puissance en plus l'infini et que celle-ci est toujours plus forte que le logarithme. Cela signie que, pour tout b strictement supérieur à 1 et tout a strictement positif,

$\lim_{x \to + \infty} \frac {b^x}{x^a}=+ \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \frac {\log_b(x)}{x^a}=0$

Preuve :

Si on suppose connu le fait que $\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$, les autres limites se déduisent immédiatement de celle-ci. En effet $\frac{b^x}{x^a}=e^{x\ln(b) - a\ln(x)} = e^{x(\ln(b) - a\frac{\ln(x)}{x})}$ comme $\lim_{x \to + \infty}\ln(b) - a\frac{\ln(x)}{x}= ln(b) (>0)$, on a $\lim_{x \to + \infty}x(\ln(b) - a\frac{\ln(x)}{x})=+ \infty$ Il en est de même de la limite du quotient étudié. D'autre part $\frac{\log_b(x)}{x^a}=\frac 1{\ln(b)}\frac{\ln(x)}{x^a}= \frac 1{a\ln(b)}\frac{\ln(x^a)}{x^a}= \frac 1{a\ln(b)}\frac{\ln(X)}{X}$. Comme X tend vers plus l'infini, et que $\lim_{X\to + \infty}\frac{\ln(X)}{X}=0$, il en est de même du quotient initial.

Infiniment petit et fonction lipschitzienne

Pour a strictement positif, on a $\lim_{x \to 0}{f_a(x)}=0$. On peut dès lors chercher à comparer la force de cette convergence avec la force de convergence d'autres fonctions.

Ainsi on dira que f est un infiniment petit d'ordre supérieur ou égal à n au voisinage de 0 si $\frac{f(x)}{x^n}$ est borné sur un intervalle ouvert contenant 0^[1],[2] .

On dira que f est lipschitzienne d'ordre a sur un intervalle I s'il existe un réel M tel que, pour tous réels x et y de I

| f(x) − f(y) | < M | x − y | ^a

En général, on prend a compris entre 0 et 1 car si a est strictement supérieur à 1, cette condition conduit à dire que f est constante sur I.

La fonction puissance d'exposant a, pour a compris entre 0 et 1, est l'exemple le plus simple de fonction lipschitzienne d'ordre a ou de fonction a-höldérienne. En effet, pour tous réels x et y strictement positifs

$0 \le (x+y)^a - x^a \le y^a$

Preuve :

Une factorisation par ya de l'expression précédente donne $(x+y)^a - x^a = y^a\left[\left(1+\frac xy\right)^a - \left(\frac xy\right)^a\right] =y^a [(1+X)^a-X^a]$ Il suffit alors d'étudier la fonction g définie par g(X) = (1 + X)a − Xa La fonction puissance d'exposant a > 0 est croissante donc g(X) > 0 La dérivée de g est donnée par g'(X) = a(1 + X)a − 1 − aXa − 1. La fonction puissance d'exposant a - 1 < 0 est décroissante donc g'(X) < 0. La fonction g est donc décroissante et, pour tout X, $g(X) \le g(0) =1$ L'expression g(X) est donc comprise entre 0 et 1. Ce qui démontre l'encadrement de (x + y)a − xa.

Fonction à rapport constant

Toute fonction puissance vérifie la propriété suivante : des rapports de x égaux induisent des rapports de f(x) égaux. C'est-à-dire, si

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{x_3}{x_4}$

alors

$\frac{x_1^a}{x_2^a}=\left( \frac{x_1}{x_2} \right)^a =\left( \frac{x_3}{x_4} \right)^a = \frac{x_3^a}{x_4^a}$

Réciproquement, toute fonction, non nulle, définie et dérivable pour x > 0, vérifiant une telle propriété est proportionnelle à une fonction puissance

Preuve :

La propriété se traduit par, pour tout y positif, il existe une constante Ky telle que, pour tout x > 0, f(xy) = Kyf(x) puis en prenant la dérivée logarithmique par rapport à x de cette égalité, $\frac{yf'(xy)}{f(xy)}=\frac{f'(x)}{f(x)}$. En prenant x=1 et en notant , $a=\frac{f'(1)}{f(1)}$ on obtient, pour tout y >0, $\frac{f'(y)}{f(y)}=\frac ay$. En intégrant, ln(f(y)) = aln(y) + Cste puis en passant à l'exponentielle, f(y) = Kya.

Développement en série

Article détaillé : Formule du binôme généralisée.

La fonctionf_a est développable en série entière au voisinage de x₀ selon la formule

$(x_0+x)^a =\sum_{n=0}^{+{\infty}}{{a \choose n}\, x_0^{a-n}x^n}.$

où

${a \choose n} = \frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}$ et ${a \choose 0} = 1$

sont des coefficients binomiaux généralisés.

On remarque que pour a entier naturel, la somme comporte un nombre fini de termes. Il s'agit de développement de la formule du binôme. Le rayon de convergence de cette série est alors infini.

Si a n'est pas entier naturel, la somme comporte une infinité de termes et le rayon de convergence est de x₀.

Utilisations

La multiplicité des formes de courbes de fonctions puissances en fait de bons candidats pour des modélisations de phénomènes en physique, biologie^[3], allométrie ou économie. Dès que l'on observe que la courbe exprimant y en fonction de x a une allure ressemblant aux courbes précédemment décrites, on peut proposer un modèle de la forme

y = Kx^a

Par abus de langage, on parle alors encore de fonctions puissances et on écrit que y est une fonction puissance de x.

On cherche aussi une modélisation de ce type dès que des rapports égaux entre valeurs de x induisent des rapports égaux entre les valeurs de y.

Dans cette modélisation, il s'agit de trouver la meilleure valeur de K et de a modélisant cette relation. On peut chercher a sous forme rationnelle, on cherche alors deux entiers p et q tels que

y^q = K'x^p

où encore deux entiers relatifs p' et q tels

y^qx^p' = K'

Pour des courbes de type a < 1, on cherche p' et q positifs, pour des courbes de type 0 < a < 1, on cherche des entiers p' et q de signes contraires, l'exposant de y étant, en valeur absolue, supérieur à l'exposant de x. Enfin, pour a > 1, on cherche des exposants de signe contraire, celui de x étant en valeur absolue plus grand que celui de y.

Période (en millions de secondes) des trajectoires des planètes du système solaire en fonction du demi-grand axe (en millions de km)

Ainsi par exemple pour mettre en place, la troisième loi de Kepler, donnant la relation entre le demi-grand axe de la trajectoire d'un planète et la période de celle-ci, on peut observer que la courbe donnant la période en fonction du demi-grand axe est du type puissance avec a>1. À partir du tableau de mesures,

Planète	demi grand axe R en 109 m	période T en 106s
Mercure	57,9	7,58
Vénus	108,2	19,36
Terre	149,6	31,47
Mars	227,9	59,19
Jupiter	778,3	373,32

on cherche donc à vérifier si T/R² ou T²/R³ est constante. La seconde tentative est la bonne et donne une constante d'environ 2,96.10 ^{− 4}.

Lorsque la relation est plus compliquée, il est préférable de procéder à un ajustement logarithmique. En effet, si la relation entre y et x est telle que

y = Kx^a

alors il doit exister une relation affine entre ln(x) et ln(y) :

ln(y) = aln(x) + ln(K)

Un ajustement linéaire sur le nuage de points (ln(x); ln(y)) permet alors de retrouver la fonction puissance liant x et y. Si

ln(y) = mln(x) + p

alors

y = e^px^m

Pour vérifier si un ajustement sous forme de fonction puissance est envisageable, il suffit donc de placer le nuage de points dans un repère log-log. Si les points semblent alignés, un ajustement par une fonction puissance est envisageable.

Dans le domaine économique, les courbes de concentration de Lorenz donnent sur l'intervalle [0;1] des courbes que l'on peut modéliser par des fonctions puissances. Cette modélisation est légitime lorsque les phénomènes étudiés suivent tous deux une loi de Pareto^[4] .

Fonction de la variable complexe

Pour la variable complexe, on peut définir sur $\C$, la fonction $z \mapsto z^n$, pour tout entier naturel n. Ces fonctions servent à construire les fonctions polynômes sur $\C$ et à construire le développement en série des fonctions holomorphes. Il est aussi possible de définir sur $\C^*$, la fonction $z \mapsto z^n$, pour tout entier négatif.

Mais il n'est pas possible de définir sur $\C^*$ de manière univoque, z^a où a est un complexe ou réel. En effet, il faut se limiter à un ouvert de $\C^*$ dans lequel il existe une détermination L du logarithme complexe. Dans un tel ouvert, f_a est alors une fonction holomorphe définie par

f_a(z) = exp(aL(z)) = z^a

Notes

1. ↑ Lelong Ferrand - Arnaudies, Cours de mathématiques, T2, Bordas Paris, 1977, p 147.
2. ↑ On trouve aussi, chez Paul Appel, f est un infiniment petit d'ordre a si $A<|\frac{f(x)}{x^a}|<B$ au voisinage de 0, ou bien encore, de manière plus restrictive, f est un infiniment petit d'ordre a si $\frac{f(x)}{x^a}$ possède une limite en zéro ni nulle, ni infinie (Evgeny Chikine; Mathématiques supérieures: pour ingénieurs et polytechniciens).
3. ↑ André Ross,Fonction puissance et modélisation, Cegep de Levis-Lauzon.
4. ↑ Marc Barbut, Note sur quelques indicateurs globaux de l'inégalité : C. Gini, V. Pareto, P. Lévy, Revue de sociologie française, Année 1984, Volume 25 , Numéro 25-4 , pp. 609-622

Voir aussi

• Condition de Hölder