Fonction réglée

Fonction réglée

En mathématiques, une fonction réglée est une fonction qui est la limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.

Sommaire

Origine de la notion

Un enjeu important dans le développement des mathématiques a été la mesure des aires et des volumes. La méthode d'exhaustion d'Archimède consistait, par des constructions géométriques, à fournir des encadrements de l'aire ou du volume recherché. Exactement dans le même esprit, pour le calcul général de l'aire S délimitée dans le plan de coordonnées cartésiennes x et y, par l'axe des x, le graphe d'une fonction y = f(x), et les droites verticales x = a et x = b, et dont la valeur sera notée:

S=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\;,

l'idée de l'Intégrale de Riemann est de positionner des rectangles verticaux avec leurs bords supérieurs soit en dessous du graphe, soit au-dessus, pour obtenir des estimations par en dessous et par au-dessus de S. Si l'écart entre les estimations en excès et par défaut peut être rendu arbitrairement petit, alors on dit que la fonction f est intégrable au sens de Riemann. Et c'est seulement à ce moment-là que notre aire prend un sens précis, car jusqu'à présent elle n'était invoquée que comme une notion intuitive en attente de formalisation. Que cette formalisation soit loin d'être une trivialité se traduit déjà par le fait qu'elle nécessite avant toute chose d'avoir construit les nombres réels et compris ce qui se rattache aux concepts de suites et de limites.

Les fonctions dont les graphes sont justement les bords supérieurs de rectangles, à un nombre fini de points près dont l'existence ne change pas l'aire, sont les fonctions en escalier. Elles forment donc une première classe de fonctions pour lesquelles l'aire est définie.

D'après la description heuristique donnée plus haut, il semble clair que si l'on peut arbitrairement bien approcher une fonction f par des fonctions intégrables gn, alors f est intégrable. Autrement dit la classe des fonctions intégrables au sens de Riemann est stable par limite uniforme. Il est donc très naturel de s'intéresser aux fonctions qui s'obtiennent à partir des fonctions en escalier par des limites uniformes. Ce sont là précisément les fonctions dites réglées.

Fonctions à valeurs dans un Banach

Plus généralement: soit E un espace de Banach et soit a < b deux nombres réels. Soit \mathcal{E} l'ensemble des fonctions en escalier de \left[ a, b \right] dans E. L'ensemble \mathcal{E} est un sous-ensemble de \mathcal{F}(\left[ a, b \right],E), l'ensemble des applications de [a,b] à valeurs dans E, que l'on munit de la norme de la convergence uniforme ||\cdot||_{\infty} (les éléments f de \mathcal{F} n'ont pas tous \|f\|_\infty<\infty, bien sûr). Une fonction de \left[ a, b \right] dans E est dite réglée si elle appartient à l' adhérence \overline {\mathcal{E}} du sous-ensemble des fonctions en escalier.

Propriétés

  • Il existe une unique application linéaire U\mapsto L(U) sur \mathcal{E} à valeurs dans E telle que L(U) = (dc)u lorsque U(x) = u pour c < x < d et U(x) = 0 lorsque x < c ou x > d, a\leq c \leq d \leq b. On appelle L l'intégrale et on la note L(U) = \int_a^b U(x)\,dx.
  • Si f:[a,b]\to E est réglée alors \|f\|:[a,b]\to \R l'est aussi et \|\int_a^b f(x)\,dx\| \leq \int_a^b \|f(x)\|\,dx.

Intérêt des fonctions réglées

Leur intérêt principal a été montré dans la section précédente, pour des fonctions à valeurs dans un espace de Banach E, puisque l'on a pu définir une notion d'intégrale, d'abord pour les fonctions en escalier (l'intégrale est une somme finie), puis pour leurs limites uniformes f = \lim f_n. Ces limites uniformes de fonctions en escalier sont les fonctions réglées, et parmi elles se trouvent les fonctions continues à valeurs dans E.

Il n'est pas toujours possible d'imiter pour les fonctions à valeurs dans E ce que l'Intégrale de Riemann fait pour les fonctions à valeurs réelles (ou complexes), puisque pour cela il faudrait pouvoir parler de sommes supérieures et de sommes inférieures.

Par contre, pour les fonctions réelles (ou complexes), déjà l'Intégrale de Riemann intègre plus de fonctions que les seules fonctions réglées, et avec l'Intégrale de Lebesgue ou celle de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, on va encore plus loin.

Caractérisation des fonctions réglées

On prouve qu'une fonction f sur [a,b] à valeurs dans un espace de Banach est réglée si et seulement si elle admet en tout point une limite à droite et aussi une limite à gauche (on retrouve que toute fonction continue est réglée, et on voit de plus, pour les fonctions réelles, que toute fonction monotone est réglée, ce qui peut se vérifier élémentairement). Il en résulte que l'intégrale indéfinie \int_a^x f(t)\,dt d'une fonction réglée admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche.

Pour les fonctions réelles ou complexes réglées, on peut de plus affirmer que la limite à droite et celle à gauche coïncident en presque (au sens de la théorie de la mesure) tous les points, puisque toute fonction réglée est Riemann intégrable, et que toute fonction Riemann intégrable est presque partout continue.

Comme exemple d'une fonction non réglée, prenons f définie sur ]0,1] par f(x) = \sin(\tfrac1x) et f(0) = 0. Cette fonction n'est pas réglée: elle n'admet pas de limite à droite en zéro. Mais elle est intégrable au sens de Riemann.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction réglée de Wikipédia en français (auteurs)

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