Force Centrale En 1/r⁵

Force centrale en 1/r⁵

En physique, en mécanique classique, il s'agit d'un résultat établi par Isaac Newton, en corollaire de son exégèse des Principia Naturalis.

Énoncé

Soit un point matériel P de masse m décrivant une trajectoire circulaire de rayon a et de centre C. On le soumet à l'attraction gravitationnelle d'un point O situé sur la circonférence de cette trajectoire circulaire.

On peut alors montrer que la loi de force centrale est en 1/OP⁵.

Démonstration historique

On note Q la position de P à t + dt. On note R l'intersection de la tangente en P et de la parallèle à OP passant par Q. D'après la seconde loi de Kepler, l'aire balayée pendant cet intervalle dt est constante, et égale ici à l'aire du triangle OPQ.

On calcule la limite du rapport 2RQ/(aire de OPQ)², selon l'expression fondamentale des Principia.

$RP^2 = RQ.RQ \propto RQ.OP$.

D'autre part l'aire s'évalue par la podaire p comme : A(OPQ) = p.RP / 2, donc A(OPQ)² = p².RP ² / 4. On a alors $F \propto 1/(p^2.OP)$. Or p = OP.sin(θ) et OP = 2a.sin(θ).

Donc p.2a = OP², on obtient enfin $F \propto 1/r^5$.

On peut également, avec les formules de Binet, obtenir le même résultat. Cette méthode était cependant inconnue du temps de Newton.

Voir aussi

• Force centrale ;
• Mouvement à force centrale ;
• Formules de Binet ;
• Exégèse des Principia ;
• Théorème de Sciacci.

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