Formulation variationnelle

En mathématiques, la formulation variationnelle d'un problème régi par des équations aux dérivées partielles correspond à une formulation faible de ces équations qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert. A l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de l'unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine.

Équation de Poisson

Pour un ouvert Ω de $\R^n$, considérons l’espace L²(Ω) des fonctions de carré intégrable et l’espace de Sobolev H^k(Ω) des fonctions dont les dérivées partielles jusqu’à l’ordre k sont dans L²(Ω).

Etant donné une fonction $f \in L^2(\Omega)$, on cherche une solution du problème suivant (formulation forte) :

$\begin{cases} u \in H^2(\Omega) \\ -\Delta u = f \text{ dans } \Omega \\ u = 0 \text{ sur } \partial\Omega \end{cases}$

La formulation variationnelle correspondante est la suivante :

$\begin{cases} u \in H^1(\Omega) \\ A(u,v) = F(v) \; \forall v \in H^1(\Omega) \, | \, v = 0 \text{ sur } \partial\Omega \\ u = 0 \text{ sur } \partial\Omega \end{cases}$

où $A(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v$ et $F(v) = \int_\Omega fv.~$

Le théorème de Lax-Milgram permet ensuite de conclure à l’existence et à l’unicité d’une solution de la formulation variationnelle.

A noter qu'une solution du premier problème est toujours solution du second, alors que la réciproque n'est pas vraie (une solution dans H¹(Ω) peut ne pas être assez régulière pour être dans H²(Ω)) : c'est d'ailleurs pour cette raison qu'une solution de la formulation variationnelle est parfois appelée solution faible (ou encore semi-faible).

Avec des conditions de bord plus générales que celles présentées ici, ce problème est plus amplement développé ici.

Voir aussi

• Théorème de Lax-Milgram
• Formulation faible
• Méthode des éléments finis