Formule De Crofton

Formule de Crofton

Soit γ une courbe rectifiable du plan (courbe plane de longueur finie). Soit une ligne orientée l, et soit n_γ(l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées par rapport à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur d'arc de la courbe γ en termes d'intégrale sur l'espace de toutes les droites orientées :

$\ell(\gamma) = \frac14\iint n_\gamma(\varphi, p)\;\mathrm d\varphi\;\mathrm dp$

La forme différentielle

$\mathrm d\varphi\wedge\mathrm dp$

est invariante par rapport aux transformations rigides ; il s'agit donc d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui permet de parler de nombre « moyen » d'intersection.

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