Frontiere (topologie)

Frontière (topologie)

En topologie, la frontière d'un ensemble est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.

Définition

Soit S un sous-ensemble d'un espace topologique (E,T).

Il est possible de définir la frontière de S (souvent notée ∂S ou Fr S) de plusieurs façons équivalentes :

• L'adhérence de S sans l'intérieur de S : $\partial S = \bar{S}\setminus \stackrel{\circ}{S}$.
• L'intersection de l'adhérence de S et de l'adhérence de son complémentaire : $\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}$.
• L'ensemble de tous les points frontières de S, où un point p de E est un point frontière de S si tout voisinage de p contient au moins un point dans S et un point en dehors de S.

Si E est un espace métrique, il existe une autre manière de définir la frontière équivalente à la précédente. Un point f est élément de la frontière de S si, et seulement si, toute boule de centre f et de rayon strictement positif possède une intersection non vide avec S ainsi qu'avec son complémentaire.

Propriétés

• La frontière d'un ensemble est un fermé.

Preuve : D'après la deuxième définition, la frontière d'un ensemble est l'intersection de deux ensembles fermés, donc un fermé.

• La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire.

Preuve

• Un ensemble est un fermé si et seulement s'il contient sa propre frontière.
• Un ensemble est un ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa propre frontière.
• Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
• L'adhérence d'un ensemble est l'union de cet ensemble et de sa frontière : $\bar{S} = S \cup\partial S$.

Exemples

Sur l'ensemble des nombres réels muni de la topologie usuelle :

• $\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \{0,5 \}\,$
• $\partial \emptyset = \emptyset$
• $\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$
• $\partial \big(\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]\big) = \left[0,1\right]$

Les deux derniers exemples illustrent le fait que la frontière d'un ensemble dense d'intérieur vide est son adhérence.

Frontière d'une frontière

Pour tout ensemble S, ∂∂S est incluse dans ∂S, l'égalité étant vérifiée si l'intérieur de ∂S est vide, ce qui est le cas par exemple si S est ouvert ou fermé.

La frontière d'un ensemble étant fermée, ∂∂∂S = ∂∂S pour tout ensemble S. L'opérateur frontière satisfait donc une forme faible d'idempotence.

Voir aussi

• Adhérence
• Fermé
• Intérieur
• Ouvert
• Topologie

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