Groupe De Fischer

Groupe de Fischer

En mathématiques, le terme groupes de Fischer fait habituellement référence aux trois groupes finis notés Fi₂₂, Fi₂₃ et Fi₂₄', tous sont des groupes simples et constituent trois des vingt-six groupes sporadiques. Quelquefois, le terme comprend les groupes d'automorphismes de ces groupes.

Les groupes 3-transposition

Les groupes de Fischer sont des groupes finis nommés en l'honneur du mathématicien Bernd Fischer, qui les découvrit en étudiant les groupes 3-transposition. Ceux-ci sont des groupes G avec les propriétés suivantes :

• G est engendré par une classe de conjugaison d'éléments d'ordre 2, appelés les 'transpositions de Fischer'.
• Le produit de deux transpositions quelconques est d'ordre 1, 2 ou 3.

L'exemple typique d'un groupe 3-transposition est un groupe symétrique, où les transpositions de Fischer sont véritablement des transpositions. Fischer pouvait classer les groupes 3-transposition qui satisfaisaient certaines conditions techniques supplémentaires. Les groupes qu'il trouva tombèrent dans plusieurs classes infinies (aussi bien que les groupes symétriques, certaines classes des groupes symplectiques et orthogonaux remplissaient ses conditions) avec une exception pour les trois groupes de Fischer. Ces groupes sont habituellement identifiés avec la notation $Fi_{22}\,$, $Fi_{23}\,$ et $Fi_{24}\,$. Les deux premiers sont des groupes simples, et le troisième contient le groupe simple Fi₂₄' d'index 2.

Ordres

L'ordre d'un groupe est le nombre d'éléments dans le groupe.

$Fi_{22}\,$ est d'ordre 2¹⁷.3⁹.5².7.11.13 = 64 561 751 654 400.

$Fi_{23}\,$ est d'ordre 2¹⁸.3¹³.5².7.11.13.17.23 = 4 089 470 473 293 004 800.

$Fi_{24}'\,$ est d'ordre 2²¹.3¹⁶.5².7³.11.13.17.23.29 = 1 255 205 709 190 661 721 292 800. C'est le troisième plus grand groupe sporadique (après le groupe Monstre et le groupe Bébé Monstre).

Notation

Il n'existe malheureusement pas de notations uniformément acceptées pour ces groupes. Certains auteurs utilisent F à la place de Fi (e.g. $F_{22}\,$). La notation de Fischer pour eux était M(22), M(23) et M(24)', qui soulignait leur rapport étroit avec les trois plus grands groupes de Mathieu, $M_{22}\,$, $M_{23}\,$ et $M_{24}\,$.

Une source particulière de confusion réside dans le fait que $Fi_{24}\,$ est quelquefois utilisé pour faire référence au groupe simple $Fi_{24}'\,$, et est quelquefois utilisé pour faire référence au groupe 3-transposition entier (qui fait deux fois sa taille).

Références

• (en) Wilson, R. A. "ATLAS of Finite Group Representation."
  http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo
• (en) (Pour la décomposition en facteurs premiers des ordres) Weisstein, Eric W. "Sporadic Group"
  http://mathworld.wolfram.com/SporadicGroup.html

• 3-Transposition Groups (Cambridge Tracts in Mathematics) par Michael Aschbacher. "3-Transposition Groups" contient la première démonstration publiée du théorème de Fischer, écrite complètement en un endroit. Editeur : Cambridge University Press (28 novembre 1996) ISBN 0-521-57196-0

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