Groupe De Galois Absolu

Groupe de Galois absolu

En mathématiques, le groupe de Galois absolu d'un corps commutatif K est le groupe de Galois de l'extension séparable maximale, la clôture séparable, K^sep du corps K. Dans le cas d'un corps parfait (et donc en particulier en caractéristique nulle), la clôture séparable coïncide avec la clôture algébrique. La compréhension du groupe de Galois absolu du corps des nombres rationnels est un problème important en théorie algébrique des nombres.

Ce groupe est unique à isomorphisme près. Il a une structure naturelle de groupe profini.

Une autre notion liée est celle de pro-p-groupe de Galois absolu, pour p un nombre premier. Il s'agit du plus grand pro-p-quotient du groupe de Galois absolu, ou encore, par la correspondance de Galois, du groupe de Galois de la pro-p-clôture séparable.

Exemples

• Un corps séparablement clos a un groupe de Galois absolu trivial.
• La clôture algébrique du corps $\mathbb{R}$ des nombres réels est le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes ; le groupe de Galois absolu de $\mathbb{R}$ est $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
• Le groupe de Galois absolu d'un corps fini est le complété profini $\hat{\mathbb{Z}}$ de $\mathbb{Z}$. C'est un groupe procylique.
• Le pro-p-groupe de Galois absolu d'une extension finie K du corps des nombres p-adiques $\mathbb{Q}_p$ est un pro-p-groupe libre à $[K:\mathbb{Q}_p]+1$ générateurs, si K ne contient pas les racines p-èmes de l'unité, et si K les contient, il s'agit d'un pro-p-groupe à $[K:\mathbb{Q}_p]+2$ générateurs, et une seule relation, et plus précisément d'un groupe de Demuchkin.

Référence

(en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg Cohomology of number fields [détail des éditions]

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