Groupe De Janko

Groupe de Janko

En mathématiques, les groupes de Janko J₁, J₂, J₃ et J₄ sont quatre des vingt-six groupes sporadiques; leurs ordres respectifs sont :

$J_1\,$	$2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19$
$J_2\,$	$2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7$
$J_3\,$	$2^7\cdot 3^5\cdot 5\cdot 17\cdot 19$
$J_4\,$	$2^{21}\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11^3\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43$

J₁

Le plus petit groupe de Janko, $J_1\,$ d'ordre 175 560, possède une présentation en termes de deux générateurs a et b et c = abab^-1

$a^2 = b^3 = (ab)^7 = (abc^3)^5 = (abc^6abab(ab^{-1})^2)^2 = 1\,$. Il peut aussi être exprimé en termes d'une représentation de permutation de degré 266. En fait, il possède 266 sous-groupes conjugués, simples, d'ordre 660.

Janko trouva une représentation modulaire en termes de matrices orthogonales 7 x 7 dans le corps à 11 éléments, avec les générateurs donnés par

${\mathbf Y} = \left ( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )$

et

${\mathbf Z} = \left ( \begin{matrix} -3 & 2 & -1 & -1 & -3 & -1 & -3 \\ -2 & 1 & 1 & 3 & 1 & 3 & 3 \\ -1 & -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & 2 & -1 \\ -3 & -1 & -3 & -3 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 3 & -2 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & -2 & 1 & 1 & 3 & 1 \end{matrix} \right )$.

$J_1\,$ fut décrit en premier par Zvonimir Janko en 1965, dans un article qui décrit le premier groupe simple sporadique nouveau découvert après plus d'un siècle et qui lança la théorie moderne des groupes sporadiques simples. $J_1\,$ peut être caractérisé de manière abstraite comme le groupe simple unique avec des sous-groupes 2-Sylow et avec une involution dont le centralisateur est isomorphe au produit direct du groupe d'ordre deux et le groupe alterné $A^5\,$ d'ordre 60, qui est dit, le groupe icosaédral rotationnel. Il ne possède pas d'automorphisme extérieur.

$J_1\,$, $J_3\,$ et $J_4\,$ sont parmi les 6 groupes sporadiques simples appelés les parias, parce qu'ils ne se trouvent pas dans le groupe Monstre.

J₂

Le deuxième groupe de Janko, d'ordre 604 800 possède une présentation en termes de deux générateurs a et b : $a^2 = b^3 = (ab)^7 = (ababab^{-1}ababab^{-1}abab^{-1}ab^{-1})^3 = 1\,$ en termes desquels il a un automorphisme extérieur envoyant b vers b². Le groupe est aussi appelé le groupe de Hall-Janko ou le groupe de Hall-Janko-Wales, puiqu'il a été prévu par Janko et construit par Hall et Wales. C'est un sous-groupe d'index deux du groupe des automorphismes du graphe de Hall-Janko, conduisant à une représentation de permutation de degré 100. Cette représentation possède un stabilisateur à un point avec les orbites de 36 et 63, isomorphe au groupe unitaire $U_3(3)\,$ (ordre 6048).

Nous pouvons aussi l'exprimer en termes d'une représentation modulaire à 6 dimensions sur le corps à 4 éléments; si en caractéristique deux, nous avons $w^2 + w + 1 = 0\,$, alors $J_2\,$ est généré par les deux matrices

${\mathbf A} = \left ( \begin{matrix} w^2 & w^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w^3 & w^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w^3 & w^3 & w^2 & w^2 & 0 & 0 \\ w & w^3 & w^3 & w^2 & 0 & 0 \\ 0 & w^2 & w^2 & w^2 & 0 & w \\ w^2 & w^3 & w^2 & 0 & w^2 & 0 \end{matrix} \right )$

et

${\mathbf B} = \left ( \begin{matrix} w & w^3 & w^2 & w^3 & w^2 & w^2 \\ w & w^3 & w & w^3 & w^3 & w \\ w & w & w^2 & w^2 & w^3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w^3 & w^3 \\ w^2 & w^3 & w^2 & w^2 & w & w^2 \\ w^2 & w^3 & w^2 & w & w^2 & w \end{matrix} \right )$

$J_2\,$ est le seul des 4 groupes de Janko qui est une partie du groupe Monstre; il fait ainsi partie de ce que Robert Griess appelle la famille heureuse. Il est trouvé dans le groupe de Conway $Co_1\,$, faisant ainsi partie de la deuxième génération de la famille heureuse.

Griess relate [p. 123] comment Marshall Hall, en tant qu'éditeur de The Journal of Algebra, reçut un court article intitulé "Un groupe simple d'ordre 604 801." Oui, 604 801 est premier.

J₃

Le troisième groupe de Janko, aussi connu comme le groupe de Higman-Janko-McKay, est un groupe sporadique fini simple d'ordre 50 232 960. L'évidence de son existence a été découverte par Janko et a été montré par Higman et McKay. En termes de générateurs a, b, c, et d, son groupe d'automorphisme $J_3:2\,$ peut être présenté ainsi $a^{17} = b^8 = a^ba^{-2} = c^2 = b^cb^3 = (abc)^4 = (ac)^{17} = d^2 = [d, a] = [d, b] = (a^3b^{-3}cd)^5 = 1\,$. Une présentation pour $J_3\,$ en termes de générateurs (différents) a, b, c, d est $a^{19} = b^9 = a^ba^2 = c^2 = d^2 = (bc)^2 = (bd)^2 = (ac)^3 = (ad)^3 = (a^2ca^{-3}d)^3 = 1\,$. Il peut aussi être construit via une géométrie fondamentale, comme cela fut effectué par Weiss, et possède une représentation modulaire à 18 dimensions sur le corps fini à 9 éléments, qui peut être exprimé en termes de deux générateurs.

J₄

Le quatrième groupe de Janko a été montré comme probable Janko en 1976, puis son existence unique fut démontrée par Simon Norton en 1980. C'est un groupe fini simple unique d'ordre $2^{21}\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11^3\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43\,$. Il possède un représentation modulaire à 112 dimensions sur le corps fini de deux éléments, un fait que Norton utilisa pour le construire, et qui es la manière la plus facile de le traiter informatiquement. Il possède une présentation en termes de trois générateurs a, b et c :

$a^2=b^3=c^2=(ab)^{23}=[a,b]^{12}=[a,bab]^5=[c,a]=\,$

$(ababab^{-1})^3(abab^{-1}ab^{-1})^3=(ab(abab^{-1})^3)^4=\,$

$[c,bab(ab^{-1})^2(ab)^3]=(bc^{bab^{-1}abab^{-1}a})^3=\,$

$((bababab)^3cc^{(ab)^3b(ab)^6b})^2=1\,$

Liens externes

• (en) PlanetMath: Janko groups
• (en) Atlas of Finite Group Representations: J₁
• (en) Atlas of Finite Group Representations: J₂
• (en) Atlas of Finite Group Representations: J₃
• (en) Atlas of Finite Group Representations: J₄

Références

• Zvonimir Janko, Un nouveau groupe simple fini avec des sous-groupes de Sylow abéliens et leurs caractérisation, Journal of Algebra 32:147-186, 1966
• Daniel Gorenstein, "Finite Simple Groups", Plenum Press, 1982
• Richard Weiss, "A Geometric Construction of Janko's Group J₃", Math. Zeitung 179 pp 91-95 (1982)
• Robert L. Griess, Jr, "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

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