Groupe des classes

Groupe des classes d'idéaux

En mathématiques, la théorie des corps de nombres fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chaque tel corps : son groupe des classes d'idéaux.

Histoire et origine du groupe des classes d'idéaux

Les premiers groupes de classes rencontrés en mathématiques furent des groupes de classes de formes quadratiques : dans le cas des formes quadratiques binaires, dont l'étude a été faite par le mathématicien allemand Gauss, une loi de composition est définie sur certaines classes d'équivalence de formes. On obtient ainsi un groupe abélien fini.

Plus tard au XIX^e siècle, Kummer travailla à une théorie des corps cyclotomiques. Il comprit alors qu'il y avait une bonne raison pour que les tentatives de donner une démonstration complète du cas général du dernier théorème de Fermat par de simples méthodes de factorisation utilisant les racines de l'unité échouent : l'absence d'un analogue adéquat du théorème fondamental de l'arithmétique, dans les anneaux engendrés par ces racines de l'unité, était un obstacle majeur. La première étude de cette obstruction à la factorisation se trouve dans le travail de Kummer. L'obstruction obtenue par Kummer est, en langage contemporain, une partie du groupe des classes d'idéaux : en fait, Kummer a isolé la p-torsion dans ce groupe, pour le corps, dit cyclotomique, engendré par les p-racines de l'unité, pour tout nombre premier p, et l'a identifiée comme la raison de l'échec des tentatives classiques de résolution du problème de Fermat (voir nombre premier régulier).

Dedekind formula ensuite le concept d'idéal, que Kummer n'avait pas énoncé. Ce langage donnait un cadre pour l'unification des divers exemples étudiés notamment par Kummer. Il fut montré qu'alors que les anneaux d'entiers algébriques n'ont pas toujours une décomposition unique en facteurs premiers (ils ne sont notamment pas des anneaux idéaux principaux), ils possèdent la propriété que chaque idéal propre admet une unique décomposition comme produit d'idéaux premiers (c’est-à-dire, chaque anneau d'entiers algébrique est un anneau de Dedekind). Cette propriété est analysée dans l'article Idéal fractionnaire. Le groupe des classes d'idéaux est un outil théorique pour étudier la question : quels idéaux sont des idéaux principaux ? Il mesure en fait le défaut de principalité de l'anneau considéré, et, en particulier, tous les idéaux sont principaux, si et seulement si le groupe des classes d'idéaux (qui est un groupe fini, dans le cas des extensions finies des nombres rationnels) est réduit à un élément.

Développement technique

Si A est un anneau intègre, définissons une relation ~ sur les idéaux non nuls de A par : I ~ J lorsqu'il existe des éléments non nuls a et b de A tels que (a)I = (b)J (ici, la notation (a) signifie l'idéal principal de A constitué de tous les multiples de a. On montre que celle-ci est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalences sont appelées les classes d'idéaux de A. Les classes d'idéaux peuvent être multipliées : si [I] désigne la classe d'équivalence de l'idéal I, alors la multiplication [I][J] = [IJ] est correctement définie et est commutative. Les idéaux principaux forment la classes d'idéaux [A] qui sert d'élément neutre pour cette multiplication.

Si A est un anneau d'entiers algébriques O_K, ou plus généralement un anneau de Dedekind, la multiplication définie ci-dessus munit l'ensemble des classes d'idéaux d'une structure de groupe abélien : on obtient le groupe des classes d'idéaux de A. La propriété d'existence d'éléments opposés pour la loi de groupe n'est pas immédiate, et nécessite un développement spécifique (voir idéal fractionnaire).

Le groupe des classes d'idéaux est trivial (c.a.d. contient seulement son élément identité) si et seulement si tous les idéaux de A sont principaux. Dans ce sens, le groupe des classes d'idéaux mesure un défaut de principalité de l'anneau A (est-il loin d'être un anneau principal?), et par conséquent a fortiori un défaut de factorialité : lui manque-t-il beaucoup pour que la propriété de décomposition unique en facteurs premiers soit vérifiée ? (les anneaux de Dedekind sont des anneaux factoriels si et seulement s’ils sont des anneaux principaux, cette propriété est démontrée dans cet article). Principalité et factorialité sont des propriétés de l'anneau Z des entiers rationnels ; le groupe des classes donne une première indication sur l'éloignement entre l'arithmétique de cet anneau et celle des anneaux d'entiers algébriques.

Le nombre d'éléments du groupe des classes d'idéaux (appelé nombre de classes de A) peut être infini en général. Cependant, si A est un anneau d'entiers algébriques inclus dans une extension finie de Q, un théorème affirme que ce nombre est toujours fini. C'est un des principaux résultats de la théorie algébrique classique des nombres. Le calcul effectif du groupe des classes est complexe. En général; il peut être fait à la main pour les corps de nombres de petit discriminant, en utilisant les propriétés géométriques de l'anneau. Ce résultat donne l'existence d'une borne telle que dans chaque classe d'idéaux, il existe un représentant, un certain idéal, dont la norme soit plus petite que cette borne. Sachant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux dont la norme soit plus petite qu'une borne donnée, il ne reste plus qu'un nombre fini de combinaisons à tester. Souvent, la borne n'est pas assez fine pour rendre le calcul praticable à la main dans un corps dont le discriminant est grand ; mais les ordinateurs suppléent efficacement le mathématicien dans cette tâche.

Pour continuer à étudier l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques, il faut introduire un autre groupe : le groupe des éléments inversibles, appelé groupe des unités ; dans le cas des entiers rationnels, ce groupe est réduit à 1 et -1. Quelles nouvelles unités trouve-t-on dans les autres anneaux ? L'existence de nouvelles unités est une autre obstruction à ce que l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques soit semblable à celle de Z.

Ces deux obstructions, groupe des classes et groupe des unités peuvent être liées comme suit : définissons une application de K\{0} vers l'ensemble de tous les idéaux fractionnaires différents de zéro de A en envoyant chaque élément du corps vers l'idéal (fractionnaire) principal qu'il engendre. Ceci est un homomorphisme de groupes ; son noyau est le groupe des unités de A, et son conoyau est le groupe des classes d'idéaux de A. La non trivialité de ces groupes, qui mesure la distance entre l'arithmétique de A et celle de Z, est précisément le défaut d'isomorphie de l'application.

L'association à un anneau d'entiers de son groupe des classes est fonctorielle, et le groupe de classes peut être interprété en termes de K-théorie algébrique : K₀(A) est le foncteur assignant à A son groupe des classes d'idéaux ; plus précisément, K₀(A) = Z x C(A), où C(A) est le groupe de classes. Les groupes K_n pour n plus élevé peuvent aussi être employés et interprétés arithmétiquement en relation avec les anneaux des entiers.

Exemples de groupes des classes d'idéaux

Article détaillé : Entier quadratique.

Les premiers anneau d'entiers algébriques contiennent un groupe des classes trivial. C'est le cas des entiers relatifs ou des entiers de Gauss, correspondant à l'ensemble Z[i] où Z désigne l'ensemble des entiers relatifs et i l'unité imaginaire. D'autres ensembles de cette nature permettent historiquement de résoudre quelques équations diophantiennes : les entiers d'Eisenstein ou ceux de Dirichlet correspondent à cette configuration.

Cette famille d'exemples correspond aux anneaux d'entiers de corps quadratiques, c'est-à-dire d'extensions quadratiques des nombres rationnels. Une question difficile est celle de l'identification des anneaux de cette nature ayant un groupe des classes trivial. La liste est initialement conjecturée par Carl Friedrich Gauss et démontré par Kurt Heegner dans le cas des corps quadratiques non totalement réel. Cependant, la démonstration d'Heegner ne fut pas reconnue jusqu'à ce qu'Harold Stark donne une démonstration en 1967, et que le même Stark montre que sa propre démonstration était en fait équivalente à celle de Heegner. Ce résultat est maintenant connu sous le nom de théorème de Stark-Heegner et est un cas particulier du problème du nombre de classes. D'autres anneaux d'entiers sur des corps quadratiques ne sont pas principaux. L'article détaillé élucide la structure de Z[i√5], qui possède un groupe de classes à deux éléments. La configuration générale du groupe des classes de l'anneau des entiers d'un corps quadratique est étudiée dans l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique, qui offre un accès plus didactique à cette structure.

Si K est un corps, alors l'anneau polynomial K[X₁, X₂, X₃, ...] est intègre et possède un ensemble infini dénombrable de classes d'idéaux.

Principe de la méthode

Article détaillé : Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique.

Recherche d'un point de petite norme dans un idéal

Cette figure illustre la recherche d'un entier algébrique μ non nul d'un idéal. L'objectif est de choisir μ de norme la plus petite possible.

L'objectif principal est de montrer que, pour une extension finie K de Q, où Q désigne le corps des rationnels, le groupe des classes de la fermeture intégrale O_K, c'est-à-dire l'anneau des entiers algébriques de K, est d'ordre fini. La méthode consiste à montrer l'existence d'une constante c tel que chaque classe contient un idéal de norme plus petite que c. Pour se faire, on considère un idéal M non nul et on cherche dans M un élément μ de plus petite norme possible, en valeur absolue.

La méthode consiste à considérer O_K comme un groupe additif. Si d est le degré de l'extension K sur Q, alors ce groupe est isomorphe à un réseau de R^d, c'est-à-dire à un groupe additif composée des vecteurs à coordonnées dans Z dans une base de R^d. Cette approche se fonde sur l'usage d'outils géométriques, on parle de géométrie arithmétique. Le théorème de Minkowski indique que tout convexe, symétrique par rapport au vecteur nul, de volume supérieur ou égal à 2^d fois le volume fondamental du réseau, contient au moins deux points non nuls du réseau. Le volume fondamental est celui du parallélépipède formé des vecteurs de coordonnées comprises entre 0 et 1 dans la base définissant le réseau. Cette technique est illustrée par la figure de droite. Le corps considéré est construit à partir des entiers du Q[√-17], le réseau est l'image de l'anneau par le morphisme de groupe qui à 1 associe (1, 0) et à ω, ici égal à √-17, associe (0, √17). L'idéal est celui des multiples de 2 dans O_K. Le volume fondamental de l'idéal correspond à la surface du rectangle illustré en rouge, il est égal à 4.√17, le disque vert possède une surface égale à 4 fois le volume fondamental, à savoir 16.√17. Le disque vert, d'après le théorème de Minkowski, contient au moins un point non nul μ de l'idéal, par exemple 4.

Cette figure illustre le choix de la norme dans le cas d'un corps totalement réel.

L'objectif est d'obtenir un entier algébrique de norme au sens arithmétique aussi petite que possible. Dans le cas où d est égal à 2, et si le corps n'est pas totalement réel, c'est-à-dire s'il est engendré par une racine négative, il est toujours possible de choisir une norme géométrique (celle utilisée pour le théorème de Minkowski) dont le carré est égal à la norme arithmétique. Ici, la norme arithmétique de l'entier algébrique μ est égal à 4² + 0.17 = 16. La surface du disque vert est égale à 64.√17 et donc le carré du rayon approximativement à 5,25. On sait donc qu'il existe un entier algébrique μ dans l'idéal M de norme arithmétique inférieure ou égale à 5, car la norme d'un entier algébrique est entière.

La démarche est analogue si le corps est totalement réel. Cependant, si d est égal à 2 et si la racine concerne un entier strictement positif (qui engendre un corps totalement réel), le choix du réseau précédent n'est plus opérationnel car la norme arithmétique s'exprime maintenant comme une différence de deux carrés. La technique utilisée consiste à associer à la base canonique de l'anneau (1, ω) les points (1, 1) et (ω, ω_c) où ω_c désigne le conjugué de ω. La figure de gauche illustre le cas où le corps K est Q[√17], ω est égal à 1/2(1 + √17) et son conjugué à 1/2(1 - √17). L'anneau est composé des nombres de la forme a + b.ω, avec a et b éléments de Z. Cet anneau est étudié dans l'article entier quadratique. Les points représentent les images de l'anneau dans le réseau, les points rouges représentent les images de l'idéal M des multiples de 2 dans l'anneau.

Dans le réseau choisi, la norme arithmétique d'un point correspond au produit de ses deux coordonnées, car la norme d'un entier quadratique α est égal à α.α_c (cf l'article Norme (arithmétique)). La zone des points de norme arithmétique inférieure, en valeur absolue, à une constante donnée, choisie égale à 4 sur la figure, est représentée en bleu. On remarque que cette zone ne peut correspondre ni à une boule pour une distance donnée, ni à une surface utilisable pour le théorème de Minkowski, elle n'est en effet pas convexe. Le convexe qui couvre au mieux la surface bleue est le carré vert de la figure. Il correspond à la distance qui, à (x, y), associe |x| + |y|. Une majoration de la norme géométrique fournit simplement une majoration de la norme arithmétique, en effet, si (α, α_c) sont les coordonnées de l'image d'un nombre de l'idéal et si N(α) désigne la norme arithmétique de α et ||.|| la norme géométrique définie plus haut :

$|\mathcal N (\alpha)| = |\alpha\cdot\alpha_c| = \frac 14 \Big((|\alpha| + |\alpha_c|)^2 - (|\alpha| - |\alpha_c|)^2\Big)\le \frac 14 \|\alpha\|^2$

On peut appliquer la même démarche que celle du cas précédent, on considère le disque de surface 4 fois celle du volume fondamental de l'idéal, c'est-à-dire dont le rayon au carré est égale à 2 fois le volume fondamental. Ce disque contient un point μ non nul de l'idéal M dont le carré de la norme géométrique est inférieur au double du volume fondamental, sa norme arithmétique est inférieure à la moitié du volume fondamental.

Usage du point de petite norme

On considère une classe C du groupe des classes, on va montrer qu'elle contient un représentant de norme inférieure à une constante c. Cette classe possède un inverse pour la loi du groupe, soit M un idéal élément de cet inverse. Comme tout idéal fractionnaire, multiplié par un idéal principal bien choisi, est égal à un idéal (cf Idéal fractionnaire), le choix de M est toujours possible. Le paragraphe précédent montre qu'il est possible de choisir un entier algébrique non nul μ, de petite norme arithmétique et dans M. L'idéal principal P engendré par μ est inclus dans M, ce qui montre que K = P.M ^-1 est un idéal. L'idéal P est principal, il est donc dans la classe de l'élément neutre, et K est dans la classe inverse de celle de M, donc dans celle de C. La norme de K est égale celle de P que divise celle de M, cette propriété de multiplication des normes d'idéaux est montrée dans l'article Norme (arithmétique).

Vu la manière dont on a construit μ, il apparaît une constante c indépendante de l'idéal M tel que la norme de P soit inférieure à c fois la norme de M. On a construit un idéal K dans la classe C de norme inférieure à c. Comme il n'existe qu'un ensemble fini d'idéaux de norme inférieure à une constante donnée, on a montré que le groupe des classes est d'ordre fini.

Le travail pour établir la démonstration de manière rigoureuse consiste à définir l'application qui relie l'anneau à un réseau de R^d, de construire une norme géométrique adéquate, qui tienne compte des deux configurations précédentes, de mesurer le volume d'une boule de rayon r pour cette norme, en vue d'appliquer le théorème de Minkowski. Puis il suffit de trouver une majoration adéquate de la norme arithmétique d'un entier algébrique dont l'image est dans la boule, et de conclure, guidé par le principe énoncé dans ce paragraphe. L'article détaillé contient une version plus simple de cette démonstration, car limitée à la dimension 2.

Démonstrations

Décors

Article détaillé : Idéal fractionnaire.

Le cas illustré est celui où K = Q [√17]. La figure représente K_R. Ici r₁ est égal à 2 et r₂ à 0. Les points gris sont les images de l'anneau des entiers par Σ. Ils sont tous combinaisons linéaires à coefficients entiers des images de 1 et ω = 1/2(1 + √17). La zone bleue est celle contenant les points d'image inférieure à 4 par N_R.

Ici Q désigne le corps des nombres rationnels, K une extension finie de Q de degré d et C le corps des nombres complexes. L'anneau étudié, noté O_K est la fermeture intégrale de K, c'est-à-dire l'ensemble des entiers algébriques contenu dans K. C'est un anneau de Dedekind et tout idéal se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. Ce résultat s'obtient en adjoignant des idéaux alors appelés fractionnaires, pour obtenir une structure de groupe. Ces propriétés sont analysées dans l'article détaillé.

K admet un élément primitif noté ici ζ, c'est-à-dire un nombre tel que tout élément de K s'exprime comme combinaison linéaire des puissance de ζ, à coefficients dans Q. Son polynôme minimal P(X) est par définition irréductible. Dans ce contexte, K est le corps de rupture de ζ, ce qui signifie que l'on peut considérer K comme le quotient de l'anneau des polynômes Q[X] par l'idéal maximal engendré par P(X). L'élément ζ est alors exactement égal à la classe de X dans K. Le polynôme P(X) n'admet pas de racine multiple car il est irréductible (cf corps parfait). Considéré comme un polynôme à valeurs dans C, P(X) admet d différentes racines si d est la dimension de K, ou encore le degré de P(X). Il existe d plongements de K dans C, le terme plongement désigne ici un morphisme de corps, nécessairement injectif. Chaque plongement associe à ζ une racine du polynôme P(X). Si, par exemple le polynôme P(X) est égal à X³ - 3, alors les différentes images possibles de ζ sont 2^1/3, j.2^1/3 et j_c.2^1/3, ici j désigne la racine cubique de l'unité à composante imaginaire strictement positive et l'indice _c, appliqué à un nombre complexe, son conjugué. On note σ₁, ..., σ_d les d différents plongements de K dans C.

Il est déjà possible de remarquer que ces plongements ne sont pas tous de même nature. Si l'image de ζ est réelle, alors le plongement est à valeur dans R. Si elle est complexe alors il existe un autre plongement qui associe à ζ le complexe conjugué. La nature de ses plongements modifie le comportement de la norme, si le plongement est à valeurs complexes, on se retrouve dans une configuration analogue au premier cas étudié dans le paragraphe Principe de la méthode. S'il est à valeurs réelles, c'est le deuxième cas.

Comme, pour chaque plongement à valeurs complexes l'application conjuguée est aussi un plongement, le nombre de plongements complexes est paire. On note r₁ le nombre de plongements réels et 2.r₂ le nombre de plongements complexes. On ordonne l'indexation des plongements de la manière suivante : si i varie entre 1 et r₁, le plongement est réel, puis, le plongement d'indice r₁ + j si j varie de 1 à r₂ possède comme conjugué r₁ + r₂ + j.

L'ensemble K_R désigne l'espace vectoriel R^r₁ x C^r₂ et Σ le morphisme de Q algèbre suivant :

$\Sigma : \quad \begin{align}\mathbb K \ & \longrightarrow \mathbb K_{\mathbb R} = \mathbb R^{r_1} \times \mathbb C^{r_2} \\ \alpha \ & \longrightarrow \Sigma(\alpha)= \big(\sigma_1(\alpha),\cdots ,\sigma_{r_1 + r_2}(\alpha)\big) \end{align}$

On définit de même une fonction N_R de K_R à valeur dans R par :

$\mathcal N_{\mathbb R} : \quad \begin{align}\mathbb K_{\mathbb R} \ & \longrightarrow \mathbb R \\ x \ & \longrightarrow \mathcal N_{\mathbb R}(x)= |x_1|\cdot \; \cdots \; \cdot |x_{r_1}|\cdot |x_{r_1 +1}|^2\cdot \;\cdots \; \cdot |x_{r_1 + r_2}|^2 \end{align} \quad \text{avec}\quad x =(x_1,\cdots,x_{r_1 + r_2})$

La norme N_R correspond à la moyenne géométrique des différentes valeurs absolues ou modules si la coordonnée est complexe.

Si N_K désigne la fonction qui à un élément α de K associe sa norme relative élément de Q, on obtient le diagramme commutatif :

$\begin{matrix} & \mathbb K & \xrightarrow{\Sigma} & \mathbb K_{\mathbb R} \\ \mathcal N_{\mathbb K /\mathbb Q} & \downarrow & & \downarrow & \mathcal N_{\mathbb R} \\ & \mathbb Q & \xrightarrow{|\cdot |} & \mathbb R \end{matrix}$

En effet, la norme arithmétique d'un élément de K est égale au coefficient constant de son polynôme minimal, autrement dit au produit de toutes le racines de son polynôme minimal, s'il est considéré comme à valeurs complexes. On munit K_R de la norme géométrique suivante :

$\|\cdot\| : \quad \begin{align}\mathbb K_{\mathbb R} \ & \longrightarrow \mathbb R_+ \\ x \ & \longrightarrow \|x\|= |x_1| + \cdots + |x_{r_1}| + 2|x_{r_1 +1}|+\cdots +2|x_{r_1 + r_2}| \end{align}$

Le rôle du coefficient 2 apparaît clair dans le cas des entiers quadratiques, le domaine fondamental d'un idéal y est égal à son discriminant si l'anneau est totalement réel (les éléments du groupe de Galois sont à valeur dans R) et à la moitié du discriminant sinon. Le coefficient 2 permet ici d'obtenir une relation simple entre le volume fondamental et le discriminant d'un idéal.

Le discriminant d'une forme bilinéaire dans un Z-module sur un anneau correspond au déterminant d'une matrice qui la représente. Comme les endomorphismes inversibles ont un déterminant aussi inversible et donc égal à +/-1, un changement de base ne modifie pas le discriminant. Ce terme est aussi appliqué à un anneau d'entiers algébriques ou à un idéal de l'anneau. La forme bilinéaire associé donne pour valeur du couple (a, b) la trace de l'application linéaire qui à x associe a.b.x, elle porte le nom de forme trace.

Lemmes techniques

• La majoration suivante est toujours vérifiée :

$\forall x \in \mathbb K_{\mathbb R}\quad |\mathcal N_{\mathbb R}(x)|^{1/d}\le \frac{\|x\|}d$

Ce lemme signifie simplement que la moyenne géométrique est plus petite que la moyenne arithmétique.

Soit δ une longueur, c'est-à-dire un nombre réel positif :

• Le volume V d'une boule de K_R de rayon δ est donné par la formule suivante :

$V = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{r_2} \frac {\delta^d}{d!}$

Considérons l'image de O_K dans K_R, c'est un Z module. Son volume fondamental est la mesure de l'aire composée par l'ensemble des vecteurs de coordonnées toutes prises dans l'intervalle [0, 1[ si la base choisie est une base du module. Comme tout isomorphisme de Z module possède un déterminant inversible dans Z, l'isomorphisme possède un déterminant égal à +/- 1. Ainsi le volume fondamental est indépendant du choix de la base du module. Ce volume correspond à celui de K_R/ Σ(O_K). Pour cette raison, on le note Vol (K_R/ Σ(O_K)). Le troisième lemme technique concerne un volume de cette nature :

• Soit M un idéal de O_K, l'égalité suivante est vérifiée :

$\text{Vol}\left(\frac {\mathbb K_{\mathbb R}}{\Sigma (\mathfrak M)}\right) = 2^{-r_2}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}.\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

La fonction Σ est celle définie au paragraphe précédent.

Démonstrations

• La majoration suivante est toujours vérifiée :

$\forall x \in \mathbb K_{\mathbb R}\quad |\mathcal N_{\mathbb R}(x)|^{1/d}\le \frac{\|x\|}d$

Cette propriété est une conséquence de la convexité de la fonction exponentielle. Si a_i désigne la valeur absolue ou le module de x_i, la majoration à démontrer est la suivante :

$\left(\prod_{i=1}^d a_i\right)^{\frac 1d}\le \frac {\sum_{i=1}^d a_i}d$

Pour pouvoir utiliser les propriétés de convexité de l'exponentielle, on utilise les propriétés du logarithme :

$\ln\left(\prod_{i=1}^d a_i\right)^{\frac 1d}=\frac 1d\sum_{i=1}^d \ln(a_i)$

Toute fonction convexe possède la propriété illustrée à droite : l'image du barycentre par la fonction convexe est plus petite que le barycentre des images. Le coefficient du barycentre, t sur la figure, est choisi entre 0 et 1. Cette propriété est vraie pour deux points, mais aussi pour d points. La convexité de l'exponentielle permet de conclure :

$\left(\prod_{i=1}^d a_i\right)^{\frac 1d} = \exp\left(\frac 1d\sum_{i=1}^d \ln(a_i)\right) \le \frac 1d \sum_{i=1}^d \exp \circ \ln(a_i) = \left(\frac 1d\sum_{i=1}^d a_i\right)$

On remarque que si l'un des coefficients a_i est nul, la démonstration n'est plus valable. Cependant, si a_i est nul, le terme de gauche est nul et celui de droite positif, la majoration est bien vérifiée.

• Le volume V d'une boule de K_R de rayon δ est donné par la formule suivante :

$V = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{r_2} \frac {\delta^d}{d!}$

Le calcul est le fruit d'une double récurrence, d'abord sur r₁ puis sur r₂. Notons V_λμδ le volume de la sphère si r₁ est égal à λ et r₂ à μ et le rayon δ.

• L'égalité suivante est vérifiée :

$V_{\lambda,0,\delta} = 2^{\lambda}\frac {\delta^{\lambda}}{\lambda!}$

La boule ressemble, en dimension d à un dé à 2^d faces. En dimension 3 elle est composée de deux pyramides dont la moitié est représentée sur la figure de droite. Si λ est égal à 1, l'égalité est vérifiée, en effet :

$V_{1,0,\delta} =\int_{-\delta}^\delta 1 dt = 2\delta$

Ce calcul revient à dire qu'un segment de rayon δ est de longueur 2δ. Supposons maintenant établie la proposition pour λ - 1 et montrons là pour λ. L'intégrale utilisée est celle illustrée sur la figure. On ne calcule que la moitié supérieure, car le volume de la moitié inférieure est le même. L'intégrale est sur la variable r, qui varie de 0 à δ. La section obtenue en coupant la boule par l'hyperplan des points de première coordonnée égale à r correspond à la zone bleue. Son volume est égal à V_{λ- 1,0,δ-r}. On en déduit :

$V_{\lambda,0,\delta} =2\int_{0}^\delta V_{\lambda - 1,0,\delta -r} dr$

Avec me changement de variable t = δ - r, on obtient :

$V_{\lambda,0,\delta} =2\int_{0}^\delta V_{\lambda - 1,0,t}dt= \frac {2^{\lambda}}{\lambda!}\int_0^\delta \lambda t^{\lambda -1}dt = 2^{\lambda}\frac {\delta^{\lambda}}{\lambda!}$

Il suffit alors de traiter le cas complexe :

• L'égalité suivante est vérifiée :

$V_{r_1,\mu,\delta} = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu} \frac {\delta^{r_1+2\mu}}{(r_1 + 2\mu)!}$

Cette fois ci, on ajoute des disques à la boule. En dimension 3, si r₁ et r₂ sont égaux à 1, la partie supérieure correspond à la figure de droite. Le cercle est de rayon δ/2 car il existe un coefficient 2 devant les termes complexes. Une telle configuration laisse penser à un usage de coordonnées polaires ρ et θ. On procède encore par récurrence.

Si μ est égal à 0, les calculs précédents établissent le résultat. Supposons le résultat vrai à l'ordre μ - 1 et montrons le pour μ.

$V_{r_1,\mu,\delta}=2\pi\int_0^{\delta/2} \rho V_{r_1,\mu -1,\delta - 2\rho}d\rho = \frac{2^{r_1+2}}{(r_1 + 2\mu)!} \left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu}\int_0^{\delta /2} (r_1 + 2\mu)(r_1 + 2\mu-1)\rho(\delta - 2\rho)^{r_1+2\mu -2} d\rho$

Comme précédemment, on pose le changement de variable t = δ - 2.ρ :

$V_{r_1,\mu,\delta}=\frac{2^{r_1}}{(r_1 + 2\mu)!}\left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu}\int_0^{\delta}(r_1 + 2\mu)(r_1 + 2\mu-1)(\delta - t)t^{r_1+2\mu -2} dt = \frac{2^{r_1}}{(r_1 + 2\mu)!}\left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu}\delta^{r_1+2\mu}$

Ce qui démontre la proposition.

• Soit M un idéal de O_K, l'égalité suivante est vérifiée :

$\text{Vol}\left(\frac {\mathbb K_{\mathbb R}}{\Sigma (\mathfrak M)}\right) = 2^{-r_2}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}.\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

Soit B égale à (b_i) pour i variant de 1 à d une base de O_K. Etablissons dans un premier temps le volume fondamental de Σ(O_K). Il est égal au déterminant suivant :

$\text{Vol}\left(\frac {\mathbb K_{\mathbb R}}{\Sigma \mathcal O_{\mathbb K})}\right) = \left| \det \begin{pmatrix} \sigma_1(b_1) & \cdots & \sigma_1(b_d) \\ \vdots & & \vdots \\ \sigma_{r_1}(b_1) & \cdots & \sigma_{r_1}(b_d) \\ \text{Re}(\sigma_{r_1+1}(b_1)) & \cdots & \text{Re}(\sigma_{r_1+1}(b_d)) \\ \text{Im}(\sigma_{r_1+1}(b_1)) & \cdots & \text{Im}(\sigma_{r_1+1}(b_d)) \\ \vdots & & \vdots \\ \text{Re}(\sigma_{r_1+r_2}(b_1)) & \cdots & \text{Re}(\sigma_{r_1+r_2}(b_d)) \\ \text{Im}(\sigma_{r_1+r_2}(b_1)) & \cdots & \text{Im}(\sigma_{r_1+r_2}(b_d)) \\ \end{pmatrix}\right|$

En multipliant à gauche la matrice précédente par une matrice bloc diagonale comportant r₁ matrice 1x1 égales à (1) et par r₂ matrice 2x2 donnée à la ligne suivante :

$\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \\ \end{pmatrix}$

On obtient l'égalité suivante :

$\text{Vol}\left(\frac {\mathbb K_{\mathbb R}}{\Sigma \mathcal O_{\mathbb K})}\right) = 2^{-r_2}\left| \det \begin{pmatrix} \sigma_1(b_1) & \cdots & \sigma_1(b_d) \\ \vdots & & \vdots \\ \sigma_{r_1}(b_1) & \cdots & \sigma_{r_1}(b_d) \\ \sigma_{r_1+1}(b_1) & \cdots & \sigma_{r_1+1}(b_d) \\ \sigma_{r_1+r_2+1}(b_1) & \cdots & \sigma_{{r_1+r_2+1}}(b_d)) \\ \vdots & & \vdots \\ \sigma_{r_1+2r_2}(b_1) & \cdots & \sigma_{r_1+2r_2}(b_d) \\ \end{pmatrix}\right| = 2^{-r_2}|\det(A)| \quad \text{avec}\quad A = (\sigma_i(b_j))$

Notons (b_ij) les coordonnées de la transposée de A. Elle est définie par b_ij = σ_j(b_i). On a :

$^tA\cdot A =\left(\sum_{k=1}^d b_{ik}a_{kj}\right)=\left(\sum_{k=1}^d \sigma_k(b_i)\sigma_k(b_j)\right)= \left(\sum_{k=1}^d \sigma_k(b_i.b_j))\right)$

On reconnait la forme trace, on en déduit :

$\det (A^2) = \det (A)^2 = \det (^tA\cdot A) = \text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})\quad \text{et}\quad |\det (A)| = |\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}$

Pour conclure, il suffit d'utiliser l'égalité suivante, démontrée dans l'article Forme trace :

$\text{discr}({\mathfrak M}) = \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)^2.\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})\;$

 

Théorèmes

Une fois les trois lemmes établis le théorème fondamental :

• Si l'extension K est finie, le groupe des classes des idéaux de O_K est fini.

est relativement simple à démontrer. La preuve utilise le résultat intermédiaire :

• Si M est un idéal non nul de O_K, il existe un élément m de M dont la norme relative vérifie la majoration suivante :

$\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(m) \le \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2} \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

Cette proposition est la conséquence directe du théorème de Minkowski et des lemmes précédents. Elle implique le résultat suivant, conséquence du fait que la norme relative est multiplicative :

• Soit M un idéal non nul de O, la classe de M ^-1 contient un idéal de norme inférieure à b, avec b défini par :

$b= \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}$

La proposition suivante est immédiate :

• Soit n un entier strictement positif, il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux de norme relative n.

Il n'existe en effet qu'un nombre fini d'anneaux unitaires intègres de cardinal n et qu'un nombre fini de morphismes d'anneaux de O_K dans un anneau donné.

Le théorème principal est la conséquence des deux derniers résultats. Il permet de démontrer le résultat suivant :

• L'anneau O_K est factoriel si et seulement s'il est principal.

Démonstrations

• Si M est un idéal non nul de O_K, il existe un élément m de M dont la norme relative vérifie la majoration suivante :

$\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(m) \le \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2} \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

Le théorème de Minskowski indique qu'une boule B( δ) de centre l'origine et de rayon δ contient un élément non nul d'un réseau fondamental de volume v si δ est tel que le volume de la boule B( δ) est supérieur à 2^dv. Le réseau qui nous intéresse est Σ(O_K), son volume fondamental est le fruit du calcul d'un des lemmes précédents. Le volume de la boule B( δ) est aussi donné par un des lemmes précédents. En conséquence, la boule contient nécessairement un point du réseau Σ(O_K) si la majoration suivante est vérifiée :

$2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{r_2} \frac {\delta^d}{d!} \ge 2^{d-r_2}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}.\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

On en déduit que si δ vérifie la majoration suivante, il existe un élément m de l'idéal M dans la boule B( δ)

$\delta^d \ge \frac {2^{d-r_1}d!}{\pi^{r_2}}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}.\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

De plus, l'élément m, de la boule B( δ) vérifie, d'après le premier lemme et en remarquant que d - r₁ est égal à 2.r₂ :

$\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(m)|\le\frac{\|x\|^d}{d^d} \le \frac {\delta^d}{d^d}\le \frac {4^{r_2}d!}{\pi^{r_2}d^d}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}.\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)$

Ce qui démontre la proposition.

• Soit M un idéal non nul de O, la classe de M ^-1 contient un idéal de norme inférieure à b, avec b défini par :

$b= \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}$

Soit m un élément de M dont la norme relative vérifie la majoration de la proposition précédente. Par définition de l'idéal M ^-1, mM^-1 est un idéal noté N de O_K appartenant à la même classe que M ^-1. La multiplicativité des normes et la proposition précédente montrent que :

$\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q} (\mathfrak N) = \frac {\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q} (m)}{\mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q} (\mathfrak M)} \le \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})|^{1/2}$

• L'anneau O_K est factoriel si et seulement s'il est principal :

Tout anneau principal est factoriel. Cette propriété se démontre ici sans appel à l'axiome du choix comme dans la démonstration générale. En effet, soit a un entier de O_K, l'idéal aO_K se décompose de manière unique en produit d'idéaux premiers. Comme l'anneau est principal, chaque idéal est de la forme p_iO_K où p_i est un nombre premier. L'entier a est donc le produit d'une unité (un élément inversible) et de nombres premiers. Comme la décomposition en idéaux premiers est unique, l'anneau est bien factoriel.

Réciproquement, supposons que l'anneau O_K soit factoriel. Montrons tout d'abord par contraposée que si p est un nombre premier pO_K est un idéal premier. Soit M un idéal premier contenant un nombre premier p. Supposons que p n'engendre pas M, la décomposition en idéaux premiers de pO_K contient M, il existe un idéal N produit de tous les autres facteurs de pO_K dans sa décomposition en idéaux premiers tel que pO_K = M.N. Soit m (resp. n) un élément de M (resp. N) non multiple de p. Un tel élément existe sinon pO_K serait égal à M (resp. N). L'élément m.n est un multiple de p, or ni m ni n ne sont des multiples de p et l'anneau O_K n'est pas factoriel. On en déduit si l'anneau est factoriel, il n'existe qu'un unique idéal premier contenant p, c'est l'idéal engendré par p.

Il suffit maintenant de montrer que tout idéal premier M contient un nombre premier. Soit m un élément de M, la proposition précédente montre que la décomposition en idéaux premiers de m est une décomposition en idéaux principaux de générateurs des nombres premiers. M contient mO_K, il est donc présent dans sa décomposition en idéaux premiers. Comme M est premier, il est égal à un de ses facteurs et il est principal.

 

Connexions avec la théorie des corps de classes

La théorie des corps de classes est une branche de la théorie algébriques des nombres qui cherche à classifier toutes les extensions abéliennes d'un corps de nombres donné, ce qui signifie des extensions de Galois avec un groupe de Galois abélien. En particulier, un magnifique exemple est trouvé dans le corps de classe de Hilbert d'un corps de nombres, qui peut être défini comme l'extension abélienne maximale non ramifiée d'un tel corps. Le corps de classe de Hilbert L d'un corps de nombres K est unique et possède les propriétés suivantes :

• Chaque idéal d'un anneau d'entiers de K devient principal dans L, c'est-à-dire, si I est un idéal intègre de K alors l'image de I est un idéal principal dans L.
• L est une extension de Galois de K avec un groupe de Galois isomorphe au groupe des classes d'idéaux de K.

Aucune des propriétés n'est particulièrement facile à démontrer.

Voir aussi

• Anneau de Dedekind
• Idéal
• Idéal fractionnaire, Norme et Forme trace
• Théorie K algébrique
• Théorie de Galois
• Entier quadratique

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