Groupe opposé

Soit G un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition $\star$ sur l'ensemble sous-jacent de G définie par :

$x \star y = yx$

est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé^[1] le groupe opposé de G, ou l'opposé de G. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de G est G lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, G est isomorphe à son opposé par l'application $x \mapsto x^{-1}$.
(La considération du groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.)

Notes et références

1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, n° 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.