Gudermannien

Fonction de Gudermann

En mathématiques, la fonction de Gudermann, appelée aussi parfois gudermannien, et notée gd, nommée en l'honneur de Christoph Gudermann (1798 - 1852), fait le lien entre la trigonométrie circulaire et la trigonométrie hyperbolique sans faire intervenir les nombres complexes.

Définition

(Fonction de Gudermann avec son asymptote (en gris) : $\scriptstyle{\theta=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!$.

La fonction de Gudermann est définie sur l'ensemble des réels par :

$\begin{align}{\rm{gd }} (t) &=\int_0^t\frac{du}{\cosh u}\\ &=\arcsin\left(\tanh t\right)=\mbox{signe}(t).\arccos\left(\mbox{sech } t\right)\ \\ &=\arctan\left(\sinh t\right)=\mbox{signe}(t).\mbox{arcsec}\left(\cosh t\right)\\ &=\mbox{arccot}\left(\mbox{csch } t\right)=\mbox{arccsc}\left(\coth t\right)\\ &=2\arctan\left(\tanh\frac{t}{2}\right)=2\arctan e^t-\frac{\pi}{2}.\end{align}\,\!$

La dérivée de la fonction de Gudermann est la fonction $1/\cosh =\mbox{sech} \!$.

Le réel $\theta= \mbox{gd} (t) \!$, appelé parfois gudermannien de $t \!$, est relié à ce dernier par les relations :

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}\sin \theta}}}&=\tanh t;\quad\cos\theta =1/\cosh t=\mbox{sech } t ;\\ \tan \theta&=\sinh t;\quad\tan\frac{\theta}{2}=\tanh\frac{t}{2}.\end{align}\,\!$

Fonction inverse

La fonction de Gudermann inverse est définie sur $]-\pi/2,\pi/2[\!$ par :

$\begin{align} \mbox{arcgd}(\theta)&={\rm {gd}}^{-1}(\theta)=\int_0^\theta\frac{du}{\cos u},\\ &=\mbox{arctanh}(\sin \theta)=\mbox{signe}(\theta){.}\mbox{arccosh}(\sec \theta),\\ &={}\ln(\tan \theta+\sec \theta)=\ln\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right),\\ &={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta} .\end{align}\,\!$

La dérivée de la fonction de Gudermann inverse est la fonction $1/\cos =\mbox{sec} \!$.

Applications

• Les cordonnées de Mercator d'un point de la sphère sont définies par $x=longitude\!$ et $y=\mbox{gd}^{-1}(latitude)\!$.

Elles sont ainsi définies de sorte que les loxodromies de la sphère soient représentées par des droites dans le plan $x,y\!$.

• Le changement de variable $\theta=\mbox{gd}(t)\!$ permet de transformer des intégrales de fonctions circulaires en intégrales de fonctions hyperboliques ; par exemple, $\int_0^{\pi/2}{(\cos \theta)^n d\theta} = \int_0^{+\infty}{(\mbox{sech } t)^n dt}$.
• Ceci explique pourquoi on peut choisir des fonctions circulaires ou hyperboliques lors de changement de variables dans le calcul d'intégrales :

Quand on rencontre du $\sqrt{1-x^2}$, on utilise $x=\cos\theta\!$ ou $x=1/\cosh t\!$, et on utilise aussi $x=\sin\theta\!$ ou $x=\tanh t\!$.

Quand on rencontre du $\sqrt{1+x^2}$, on utilise $x=\tan\theta\!$ ou $x=\sinh t\!$.

• Paramétrisation d'un cercle ou d'une droite hyperbolique.

Si on pose $\begin{cases}\begin{align}x&= \cos \theta = 1/{\cosh t} \\ y & = \sin \theta = \tanh t \end{align}\end{cases}$, on a évidemment une paramétrisation du demi-cercle de rayon 1 dans le demi-plan $x>0\!$ ; $\theta\!$ est la distance curviligne dans le demi-plan euclidien entre le point $(x,y)\!$ et le point $(1,0)\!$, et $t\!$ est aussi une distance, mais mesurée entre ces deux points dans le demi-plan considéré comme demi-plan de Poincaré pour la géométrie hyperbolique.

Voir aussi

• La projection de Mercator
• Les fonctions elliptiques de Jacobi

Références

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gudermannian function ».

Ce document provient de « Fonction de Gudermann ».