Histoire du calcul infinitésimal

La création du calcul infinitésimal est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. Néanmoins, son histoire est très vaste, d'Archimède à Barrow en passant par Fermat.

Antiquité

La méthode d'exhaustion est connue d'Archimède.

XIV^e siècle

Des notions sont élaborées en Inde, développées par l'école du Kerala.

XVII^e siècle

En Europe, au XVII^e siècle, deux problèmes passionnent les mathématiciens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste à retrouver, à partir d’une courbe quelconque, les différentes tangentes à la courbe. Le second réside dans le calcul de l'aire engendrée par une courbe. Plusieurs méthodes furent mises au point : la méthode des indivisibles, La méthode de la normale de Descartes, la méthode d'adégalisation de Fermat. C'est cette dernière méthode qui fut systématisée par le langage du calcul infinitésimal.

Méthode des indivisibles

Statue de Bonaventura Cavalieri à Milan, sa ville natale

En Italie, dès 1620, Cavalieri développe la méthode des indivisibles^[1], poursuivie par Torricelli (1643), puis l'école de Padoue.

À la mort de Cavalieri (1647), Pietro Mengoli prend sa succession pour 39 ans. Avec Stefano degli Angeli, il développe l'essentiel du calcul pour les séries (en particulier ln(1 + x)). Toute l'Europe accourt. En particulier, Gregory, élève de 1664 à 1668, ramènera en Angleterre la « formule de Gregory-Leibniz ».

Pascal de son côté, mène une réflexion approfondie, d'un point de vue philosophique, sur le concept d'infini ; son ouvrage, le Traité de la roulette, paraît en 1659. Wallis produit l' Arithmetica Infinitorum (Oxford, 1655) et popularise le symbole $\infty$, déjà en usage chez Fermat et Descartes^[2], ainsi que l'infinitésimal $\frac{1}{\infty}$. Barrow enseigne Newton à Cambridge en 1661.

En 1634, Roberval donne la quadrature de la cycloide, et la tangente.

Pierre de Fermat, 1636

Pierre de Fermat

En 1636, Fermat livre une méthode générale de détermination des tangentes^[3], utilisant à cette fin la méthode d'adégalisation (mot emprunté à Diophante).

Celle-ci consiste à considérer l'équation f(a + e) = f(a), à ôter f(a) aux deux membres, à simplifier par e l'équation obtenue, puis à poser e = 0 dans l'équation simplifiée^[4].

C'est-à-dire, en langage moderne, l'opération
$\lim_{e \to 0}\, \frac{f(a+e)-f(a)}{e}$,
opérant ainsi passage à la limite et dérivation, termes inventés postérieurement.

Fermat affirma « il est impossible de donner une méthode plus générale » et « cette méthode ne trompe jamais, et peut s’étendre à nombre de questions très belles ». Il donne plusieurs exemples d'application (parabole, cycloïde, etc).

Une importante controverse eu lieu avec Descartes qui avait lui-même publié ses propres méthodes de détermination des tangentes.

Le raisonnement de Fermat n’étant pas encore bien compris au milieu du dix-septième siècle, Huygens présenta à l’Académie des Sciences, en 1667, une communication dans laquelle il expliquait la méthode du savant toulousain ; il y mentionnait que e est une « quantité infiniment petite », en utilisant pour la première fois, d’ailleurs, l'expression « infiniment petit »^[5].

Leibniz rencontra Huygens à Paris en 1672 et Huygens fréquenta la Royal Society à partir de 1663.

Isaac Newton, 1669

Isaac Newton (Godfrey Kneller, National Portrait Gallery Londres, 1702)

Newton est considéré comme l’un des fondateurs du calcul infinitésimal. S’inspirant de Descartes et Wallis dont il avait lu les écrits, il se pose en effet le problème des tangentes qu’il relie rapidement à celui de la quadrature. Cependant, il écrit assez peu sur ce sujet (seulement trois écrits) et publie très tard par peur des critiques.

Dès 1669^[6], Newton, s’inspirant de Wallis et Barrow, relie le problème de la quadrature à celui des tangentes : la dérivée est la procédure inverse de l'intégration. Il s’intéresse aux variations infinitésimales des quantités mathématiques et l’aire engendrée par ces mouvements. Sa méthode la plus célèbre reste celle des fluxions. Très influencé par son travail de physicien, il considère les quantités mathématiques comme engendrées « par une augmentation continuelle » et les compare à l’espace engendré par les « corps en mouvement ». Dans le même esprit, il introduit le temps en tant que variable universelle et définit les fluxions et les fluentes. Les fluentes (x, y, z…) sont des quantités « augmentées graduellement et indéfiniment », et les fluxions ($\dot x,\dot y,\dot z$) « les vitesses dont les fluentes sont augmentées ». Il se pose le problème « Étant donné les relations entre les quantités fluentes, retrouver la relation entre leurs fluxions. ».

Voici par exemple la solution qu’il donne pour y = xⁿ :

Soit τ, un intervalle de temps infiniment petit. $\dot x \cdot \tau$ et $\dot y \cdot \tau$ seront les accroissements infiniment petits de x et y.

$y= x^n \,$

En remplaçant x et y par $x+\dot x \cdot \tau$ et $y+\dot y \cdot \tau$

$y+ \dot y \cdot \tau = (x+\dot x \cdot \tau)^n$

Puis en développant par la formule du binôme qu’il a démontrée :

$y+\dot y \cdot \tau = x^n + n \tau \cdot x^{n-1} \dot x + \frac{n(n-1)}{2}\tau^2 \cdot \dot x^2 x^{n-2} + \ldots$

Ensuite, il retranche $y= x^n\,$ et divise par $\tau ~$.

$\dot y = nx^{n-1}\dot x + \frac{n(n-1)}{2}\tau \cdot \dot x^2 x^{n-2} + \ldots$

Enfin, il néglige tous les termes contenant $\tau ~$, et obtient :

$\dot y = nx^{n-1}\dot x$, qui rappelle la formule $(x^n)' = nx^{n-1} \,$

L’intuition est correcte, mais manque de conviction. Newton voudrait se débarrasser des quantités infinitésimales qu’il n’arrive pas à baser sur des principes rigoureux. Dans sa méthode « des premières et dernières raisons », il se contentera des rapports entre fluxions, ce qui lui permettra d’éviter de « négliger » des termes, laissant le terme τ « s’évanouir » dans le rapport. Il se rapproche alors de notre notion actuelle de limite, comparant cela à l’idée de « vitesse instantanée » d’un corps. Non pas celle qu’il a avant d’arriver, ni celle qu’il a après, mais celle qu’il a au moment où il arrive. Dans Principia, il exprime ainsi sa pensée : « Les rapports ultimes dans lesquels les quantités disparaissent ne sont pas réellement des rapports de quantités ultimes, mais les limites vers lesquels les rapport de quantités, décroissant sans limite, s’en approchent toujours : et vers lesquels ils peuvent s’en approcher aussi près que l’on veut. » Il est surprenant de voir à quel point cette conception se rapproche de la définition même de la limite moderne : f(x) tend vers a si étant donné ε donné positif quelconque, il existe α tel que : |x-a|<α ⇒ |f(x)-f(a)|<ε. Cependant, Newton ne généralise pas cette définition et sa notion de limite reste réservée aux rapports de fluxions, à ce qui se rapproche du calcul moderne de dérivées. Et même ainsi, il se trouve dans l’incapacité de fonder son calcul différentiel sur des bases rigoureuses. La notion de valeur infinitésimale est encore trop nouvelle et se trouve vivement critiquée, n’étant pour certains qu’un « fantôme de quantités disparues ».

Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1674

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Leibniz est considéré comme le deuxième créateur du calcul ; il va en améliorer la notation et l'exposé. Leibniz est au départ un philosophe et ne découvre les mathématiques qu’en 1672 lorsqu’il rencontre Christian Huygens lors d’un voyage à Paris. Il s’inspire alors des œuvres de Descartes, de Pascal, de Wallis et d’autres. Très vite, il fait le lien entre le problème des tangentes et celui de la quadrature en remarquant que le problème de la tangente dépend du rapport des « différences » des ordonnées et des abscisses et celui de la quadrature, de la « somme » des ordonnées. Lors de son travail sur les combinatoires, il observe en effet ceci :

1, 4, 9, 16 étant la suite des carrés

1, 3, 5, 7 la suite des différences des carrés :

1+3+5+7=16

Son travail en philosophie le pousse à considérer les différences infiniment petites et il tire bientôt la conclusion : ∫dy = y, ∫ étant une somme de valeurs infiniment petites et dy une différence infinitésimale.

En effet, Leibniz émet à la même époque l’hypothèse philosophique de l’existence de composants infiniment petits de l’univers. Tout ce que nous percevons n’étant que la somme de ces éléments. Le rapport avec ces recherches mathématiques est direct. Il explique parfois aussi ces éléments infinitésimaux en faisant une analogie avec la géométrie : le dx est au x, ce que le point est à la droite. Ce qui le pousse dans l’hypothèse de l’impossibilité de comparer des valeurs différentielles à de « vraies » valeurs. Tout comme Newton, il privilégiera les comparaisons entre rapports.

La notation claire et pratique qu’il met en place permet des calculs rapides et simples. S’intéressant au rapport dy / dx, il l’identifie au coefficient directeur de la tangente, se justifiant par l’étude du triangle formé par une portion infiniment petite de la tangente et deux portions infiniment petites des parallèles aux axes de l'abscisse et e l'ordonnée. Ainsi, il exprime par exemple le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de y = x² :

$\mathrm dy = (x +\mathrm dx)^2 - x^2 = 2x\mathrm dx + (dx)^2\,$

$\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = 2x + \mathrm dx$

Et enfin, en négligeant dx :

$\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = 2x$.

Il résout aussi les problèmes d(x + y), $d(x \cdot y)$, d(x / y) et d(xⁿ) dans l’optique de créer une véritable algèbre des infiniment petits. Mais il subit de nombreuses critiques, semblables à celle que l’on fit à Newton et que Descartes fit à Fermat : pour quelle raison négliger les infinitésimaux dans le résultat final ? Et s’ils sont égaux à 0, comment peut-on calculer leur rapport ? Lui-même a du mal à baser sa théorie sur des concepts solides et a tendance à considérer les valeurs infinitésimales comme des outils, au même titre que les nombres imaginaires, qui « n’existeraient » pas vraiment. Mais même ainsi, ses détracteurs restent nombreux.

Dans les Acta Eruditorum, Leibniz pourra efficacement promouvoir son calcul (1684). Les Bernoulli puis Euler sauront faire bon usage de sa notation, prouvant l'efficacité opérationnelle du langage différentiel.

En France, avec Huygens, Rolle, Varignon l'Analyse gagne prudemment ses galons, mais ne se développera fortement que lorsque le cercle autour de Malebranche entrera à l'Académie des Sciences (1699).

Au XVIII^e siècle

En 1700, le calcul est encore loin d'être accepté : Michel Rolle et George Berkeley le critique.

Ce que critique Rolle est le manque de nouveauté de la chose :

« Cela posé, il sera facile de savoir que la formule fondamentale du calcul différentiel n'est autre chose que la formule ordinaire des tangentes [de Fermat] et que celle-ci était publique avant que l'on ait rien fait paraître des premiers projets de ce calcul^[7]. »

« Ainsi, les défenseurs de l'analyse des infiniment petits ne peuvent pas nier que Messieurs Barou et Tschirnhaus ne se fussent servis des idées de Mr Fermat pour trouver l'Egalité et la formule ordinaire des tangentes qu'ils nomment égalité différentielle^[8]. »

« En 1684, Mr de Leibniz donna dans des journaux de Leipzig des exemples de la formule ordinaire des tangentes, et il imposa le nom d'égalité différentielle à cette formule […] Mr de Leibniz n'entreprend point d'expliquer l'origine de ces formules dans ce projet, ni d'en donner la démonstration […] Au lieu de l'a & de l'e, il prend dx & dy^[9]. »

« On ne fait que cela aussi sur cette formule dans l'analyse des infiniment petits; où, s'il y a du changement, ce n'est que pour écrire dx & dy au lieu de a & de e. Mais l'on y serait porté à croire que toutes ces opérations ne se font qu'en conséquence du nouveau système de l'infini, quoi qu'elles fussent réglées sur de bons principes avant que l'on eu parlé de calcul différentiel, et le manège que l'on fait en cela dans cette analyse ne soit qu'un déguisement des règles qui avaient déjà paru sur ce sujet^[10]. »

En fait, Newton et Leibniz introduisent dans les mondes Anglo-Saxon et Germanique, les règles de détermination des tangentes déjà connues en France grâce à Fermat, mais selon une forme différente. Le calcul a été refondé sur des bases solides au XIX^e siècle, avec l'introduction de la notion de limite. Avec Euler, les mathématiques et la physique mathématique vont exploser. Le calcul est vrai « expérimentalement ». Mais le XVIII^e va fourmiller d'ouvrages critiques, visant à le « justifier » (on citera l'étude de Lazare Carnot et surtout les avertissements de Lagrange).

En 1711, la Royal Society accusera Leibniz d’avoir copié l’œuvre de Newton, jusqu'à proclamer Newton inventeur de la méthode. S’ensuivront de nombreuses disputes et des attaques personnelles entre les deux hommes. Il y a aussi peut-être quelques considérations de prestige national qui entrèrent alors en ligne de compte.

Au XIX^e siècle

Ce n’est qu’au XIX^e siècle que le concept de limite sera véritablement explicité. Et c’est seulement ainsi que le calcul différentiel pourra vraiment se développer. Car ce ne sont pas sur des rapports que travaillent Newton et Leibniz, mais bien sur des limites de rapport, et c’est ce concept qui est la base de tout le reste. C’est à cette époque que le nombre réel comme nous le connaissons de façon moderne est introduit chez les mathématiciens.

Avant le XIX^e siècle, cette conception n'est pas totalement clarifiée, ce qui empêche de fonder la limite sur des bases rigoureuses, même si l'intuition est là. Leibniz, par exemple, l'exprime sous forme d'analogie « le dx est au x, ce que le point est à la droite », ce qui permet de saisir l'idée; comme l'opération de passage à la limite est notée grâce la préfixation en d qu'il introduit, cela permet de ne pas mélanger les ordres de grandeur, et la mise en rapport fonctionne parce que la limite d'un rapport de deux fonctions est équivalente au rapport des limites de ces deux fonctions. Mais la conception du nombre est encore très inspirée de la vision euclidienne, d'où certaines difficultés de compréhension formelle.

Sans la caractérisation de la densité et du caractère intrinsèquement infini des réels, le concept de limite ne pouvait voir le jour. Il reviendra à Cauchy et Weierstrass de préciser la notion de limite et continuité. L'Analyse classique peut enfin débuter avec un formalisme adéquat.

Calculateur de la NASA (1951)

Au XX^e siècle

• Une théorie notable : l'analyse non standard et ses nombres hyperréels, créée par Abraham Robinson (1976).

• Le calcul infinitésimal permet des progrès spectaculaires avec le développement des ordinateurs à partir des années 1950.

Article détaillé : Histoire de l'informatique#Les premiers calculateurs programmables.

Une querelle d'antériorité

Qui de Newton ou Leibniz a l'antériorité ? La question n'a pas de sens posé ainsi : la recherche est œuvre collective. L'invention du calcul infinitésimal intègre différentes innovations d'auteurs variés. On peut ainsi distinguer :

• La division d'une forme en intervalles réguliers (méthode des indivisibles de Cavalieri).
• L'invention de l'opération de passage à la limite, qui trouve son origine dans la méthode d'adégalisation de Fermat.
• L'invention du langage pour systématiser l'opération logique sans erreur :

Le calcul des fluxions de Newton, sans postérité, mais utilisé en Angleterre jusqu'au XIX^e siècle.

Le calcul différentiel de Leibniz, lié à ses recherches en langage (voir Caractéristique universelle), toujours utilisé.

Voir aussi

• Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, ouvrage du marquis de L'Hôpital (1696), sur le calcul différentiel de Leibniz.
• Introductio in analysin infinitorum (Introduction à l'analyse des infiniments petits), d'Euler (1748).

Notes et références

1. ↑ (la) B. Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, 1635
2. ↑ Édouard Lucas, Théorie des nombres, t. 1, Paris, 1901.
3. ↑ Les infiniment petits selon Fermat : prémisses de la notion de dérivée par J. Bair et V. Henry, sur bibnum
4. ↑ Pierre de Fermat (1601-1675), sur le site de l'académie de Bordeaux
5. ↑ C. Huygens, Œuvres complètes, Martinus Nijhoff, La Haye, (1940), Tome 20.
6. ↑ (la) I. Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, manuscrit transmis à Isaac Barrow en 1669
7. ↑ Rolle 1703, p. 4
8. ↑ Rolle 1703, p. 5
9. ↑ Rolle 1703, p. 6
10. ↑ Rolle 1703, p. 7

• (en) Carl Benjamin Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1949 (ISBN 978-0-48660509-8)
• Michel Rolle, Remarques de M. Rolle de l'académie royale des sciences touchant le problème général des tangentes, 1703 [lire en ligne]