Homologie des groupes

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En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe.

Pour un groupe G, on note $\Z[G]$ l'algèbre du groupe G, c'est-à-dire l'anneau dont le groupe abélien sous-jacent est le groupe abélien libre sur G, et dont les produits sont donnés sur les éléments de base par les produits de G.

Plus précisément, un élément de $\Z[G]$ est un objet de la forme :

$\sum_{g\in G} n_g g$

où les n_g sont presque tous nuls. Et le produit de deux tels éléments est donné par :

$\left(\sum_{g\in G} n_g g\right)\left( \sum_{g\in G} n'_g g\right)=\sum_{g\in G}\left(\sum_{g_1,g_2\in G/g_1g_2=g} n_{g_1}n'_{g_2}\right) g$

Soient alors M un $\Z[G]$-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M muni d'un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et $\epsilon:F_*\rightarrow M\rightarrow 0$ une résolution projective de M.

Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par :

$H_i(G;M)=H_i(F_*\otimes_{\Z[G]}\Z)$

De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par :

$H^i(G;M)=H^i(\mathrm{Hom}_{\Z[G]}(F_*,\Z))$

Un résultat standard d'algèbre homologique montre que ces constructions sont indépendantes de la résolution projective F _* choisie.