Hyperplan


Hyperplan

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans sont des sous-espaces vectoriels particuliers.

Sommaire

Définition

Soit E un \mathbb K-espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1 dans E.


Remarques :

  • Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
  • Dans \mathbb{R}^3, la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

Caractérisation

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

  • H est un hyperplan
  • Il existe une droite D telle que  E=H \oplus D
  • \forall e \in E \backslash H, \quad E=H \oplus e \mathbb{K}

Lien avec les formes linéaires

On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.

C'est-à-dire : H est un hyperplan de E \Longleftrightarrow \exists \phi \in E^*\backslash\{0\}, \ H=\ker \phi


Interprétation de ce résultat dans le \mathbb{R}\,\!-espace vectoriel  \mathbb{R}^3 :

Toutes les formes linéaires sur  \mathbb{R}^3 peuvent s'écrire sous la forme suivante : \phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y,z) \mapsto ax+by+cz avec  (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de  \mathbb{R}^3 peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit  H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \ \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\}

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).

Exemples

  • Dans  E=\mathcal M_n(\mathbb K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans  \mathbb K. L'ensemble des matrices de trace nulle  H=\{A \in E / \ \mathrm{Tr}  A =0\} est un hyperplan de E.
  • Dans  E=\mathbb K[X] l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X:  H=\{P \in E / \ P(0)=0\} est un hyperplan de E.


Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

Représentation des sous-espaces

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.

On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Hyperplan de Wikipédia en français (auteurs)

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