Hyperplan

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans sont des sous-espaces vectoriels particuliers.

Définition

Soit E un $\mathbb K$-espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1 dans E.

Remarques :

• Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
• Dans $\mathbb{R}^3$, la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

Caractérisation

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

• H est un hyperplan
• Il existe une droite D telle que $E=H \oplus D$
• $\forall e \in E \backslash H, \quad E=H \oplus e \mathbb{K}$

Lien avec les formes linéaires

On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.

C'est-à-dire : H est un hyperplan de E $\Longleftrightarrow \exists \phi \in E^*\backslash\{0\}, \ H=\ker \phi$

Démonstration

Soit H un hyperplan de E. On cherche à construire une forme linéaire non nulle dont H est le noyau.

H est un hyperplan donc par définition il admet un supplémentaire dans E de dimension égale à 1. C'est donc une droite vectorielle engendrée par un $x_o \in E-H$ (x_o ne peut être nul car il n'appartient pas à H qui contient 0). On a donc

$E=H \oplus x_o K$

Tout vecteur x de E se décompose donc de la façon suivante:

$x=\underbrace{x_H}_{\in H}+\underbrace{ \lambda x_o}_{\in x_o K}, \quad (\lambda \in K)$

Posons une application $\varphi: E \longrightarrow K$ qui a tout vecteur de E associe le scalaire associé à x_o dans sa décomposition suivant $H \oplus x_o K$. Montrons alors que φ est linéaire: On prend deux vecteurs x et y quelconque de E qui se décomposent comme ci-dessus:

$x=x_H+\lambda x_o \quad \mathrm{et} \quad y=y_H+\mu x_o$

En prenant un scalaire $a \in K$ quelconque on obtient:

$\begin{array}{ll} \varphi(ax+y)&=\varphi \left(a(x_H+\lambda x_o)+(y_H+\mu x_o)\right)\\ &=\varphi ((\underbrace{ax_H+y_H}_{\in H})+(\underbrace{a\lambda + \mu )x_o}_{\in x_o K})\\ &=a\lambda + \mu\\ &=a\varphi(x)+\varphi(y) \end{array}$

Ce qui montre que φ est linéaire, de plus son ensemble d'arrivée est K, c'est donc bien une forme linéaire. De plus elle n'est pas nulle (par exemple x_o a pour image 1).

Prenons un $x_H \in H$. Par décomposition x_H = x_H + 0x_o donc φ(x_H) = 0 et donc $x_h \in \ker \varphi$. On a donc $H \subset \ker \varphi$.

Réciproquement, soit $x \in \ker \varphi$. Alors ce vecteur n'est pas engendré par x_o et donc appartient à H. On a donc $\ker \varphi \subset H$ et donc par double inclusion H = ker φ.

H est donc le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Réciproquement, soit φ une forme linéaire non nulle et H son noyau. Montrons que H est un hyperplan de E. Pour cela, on va montrer que H admet un supplémentaire de dimension 1.

φ est non-nulle, il existe donc un vecteur x_o de E non-nul tel que $\varphi(x_0) \neq 0$. Montrons alors que $E=H\oplus x_o K$. Soit x dans E. Comme $\varphi (x_o) \neq 0$, on peut écrire la tautologie suivante:

$x=\underbrace{x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o}_{=x_H} + \underbrace{ \frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}x_o}_{=y}$

Il est clair que $y \in x_o K$ car $\frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}$ est bien dans K.

D'autre part:

$\begin{array}{ll} \varphi(x_H)&=\varphi\left(x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o\right)\\ &=\varphi(x)-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}\varphi(x_o)\\ &=\varphi(x)-\varphi(x)\\ &=0 \end{array}$

Donc $x_H \in \ker\varphi=H$. Autrement dit, tout vecteur de E se décompose en somme d'un élément de la droite vectorielle engendrée par x_o et d'un élément du noyau H, ie E = H + x_oK. Montrons maintenant que cette somme est directe.

Soit $x \in H \cap x_o K$. On peut donc écrire x = λx_o avec $\lambda \in K$. Et donc φ(x) = λφ(x_o). Mais comme x est dans H on a également φ(x) = 0. C'est-à-dire λ = 0 (car $\varphi(x_o) \neq 0$) et donc x=0. D'où $H \cap x_o K = \{0\}$ et la somme est directe.

Par conséquent, $E=H\oplus x_o K$ soit, par définition:

H est un hyperplan de E.

Interprétation de ce résultat dans le $\mathbb{R}\,\!$-espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ :

Toutes les formes linéaires sur $\mathbb{R}^3$ peuvent s'écrire sous la forme suivante : $\phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y,z) \mapsto ax+by+cz$ avec $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$ fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de $\mathbb{R}^3$ peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit $H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \ \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\}$

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).

Exemples

• Dans $E=\mathcal M_n(\mathbb K)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans $\mathbb K$. L'ensemble des matrices de trace nulle $H=\{A \in E / \ \mathrm{Tr} A =0\}$ est un hyperplan de E.

• Dans $E=\mathbb K[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: $H=\{P \in E / \ P(0)=0\}$ est un hyperplan de E.

Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

Représentation des sous-espaces

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.

On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.