Hélicité relative

Hélicité (dynamique des fluides)

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En dynamique des fluides, l’hélicité est une mesure de l'effet d'entraînement qu'aura une rotation locale sur une parcelle de fluide. C'est une quantité utilisée pour déduire la turbulence du fluide et est particulièrement utilisé en météorologie pour estimer le potentiel tornadique. L'hélicité est une grandeur conservée si le fluide obéit aux équations de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles.

Définition générale

L'hélicité est calculée en faisant la sommation, dans une parcelle de fluide, du tourbillon relatif (ou rotationnel de vitesse) avec le produit scalaire de la vitesse locale dans le fluide :

$H=\int{ \vec V}\cdot\left(\nabla\times{ \vec V^'}\right)\,d^3{\mathbf R} = \int{ \vec V} \cdot \vec \zeta \,d^3{\mathbf R} \qquad \qquad \begin{cases} R = dimensions\ du\ volume \\ V = Vitesse\ locale\ selon\ R \\ V^' = Vitesse\ des\ particules\ dans\ le\ volume \\ \zeta = tourbillon\ relatif \end{cases}$

L'équation montre comment ce volume entrera en rotation autour d'un axe dans la direction de déplacement, l'hélicité sera positive si la rotation est de sens horaire (en regardant d'où vient le volume) et négative si la rotation est en sens anti-horaire. De plus, plus le tourbillon et la vitesse locale seront parallèles, plus H sera grand.

Interprétation

Tourbillon créé par un cisaillement des vitesses dans l'environnement

Si on considère un fluide dont la vitesse change quand on se déplace dans la direction R, ceci provoque un mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'axe de changement de vitesse. Pour comprendre pourquoi, il suffit d'imaginer une roue à palettes, d'axe horizontal, placée dans fluide se déplaçant de gauche à droite. Si le fluide qui frappe le haut de la roue se déplace à une vitesse plus grande que celui qui frappe le bas, la roue se met à tourner dans le sens des aiguilles d'une montre. Ceci induit un tourbillon $\scriptstyle \vec \zeta$ dans le fluide dont l'axe entre dans la page.

On considère ensuite un volume indépendant qui se déplace dans cet environnement à un niveau donné et avec une vitesse $\scriptstyle \vec V$ qui est différente de l'environnement. Si ce volume se déplace dans la même direction que l'environnement, $\scriptstyle \vec V$ et $\scriptstyle \vec \zeta$ sont perpendiculaires et le volume ne changera pas de direction.

Par contre, si $\scriptstyle \vec V$ fait un angle avec le tourbillon, le volume devra changer de direction car l’environnement à ce niveau a une direction différente. La rotation maximale se produira quand $\scriptstyle \vec V$ est dans la même direction que le tourbillon (soit entrant dans la page dans l'image de droite). Dans ce cas, le haut du volume est soumis à une vitesse plus grande que le bas ce qui crée la rotation.

Météorologie

En météorologie, l'hélicité correspond au transfert de rotation de l'environnement vers une parcelle d'air en convection. Dans ce cas, on simplifie la définition de l'hélicité à une dimension en supposant que le tourbillon est horizontal^[1],[2] :

$H = \int{ \vec V_h} \cdot \vec \zeta_h \,d{\mathbf Z} = \int{ \vec V_h} \cdot \nabla \times V_h \,d{\mathbf Z} \qquad \qquad \begin{cases} \,d{\mathbf Z} = changement\ d'altitude \\ V_h = Vitesse\ horizontale \\ \zeta_h = tourbillon\ relatif\ horizontal \end{cases}$

Comme $\vec V_h$ est seulement horizontal, $\nabla \times V_h$ = $- \vec k \times \left ( \frac {\vec \delta V_h} {\delta \mathbf Z} \right ) \qquad \qquad \begin{cases} \vec k \end{cases}$ = axe des Z

Donc $H = - \int{ \vec V_h \cdot \{ \vec k \times \left ( \frac {\vec \delta V_h} {\delta \mathbf Z} \right ) \} \,d{\mathbf Z} } = - \int{ \left [ \{ \vec V_h \cdot \vec k \} + \{ \vec k \cdot \vec V_h \times \left ( \frac {\vec \delta V_h} {\delta \mathbf Z} \right )\} \right ] \,d{\mathbf Z } }$

Le premier terme étant 0 car V_h est par définition perpendiculaire à Z :

$H = - \int{ \left [ \vec k \cdot \vec V_h \times \left ( \frac {\vec \delta V_h} {\delta \mathbf Z} \right ) \right ] \,d{\mathbf Z } }$

Calcul

Hodographe avec les vents d'un radiosondage pointés. L'hélicité correspond à la surface soutendue par la courbe qui marque le changement des vents avec l'altitude. (Source: NOAA)

On peut voir les termes de cette équation comme un changement de direction imposé à $\scriptstyle V_h$ d’une parcelle d'air par l'environnement. Dans cette formulation, si le vent horizontal ne change pas de direction avec l'altitude, H est nul car V_h et $\scriptstyle \nabla \times V_h$ sont perpendiculaires l'un à l'autre rendant leur produit scalaire nul. Il est donc évident que H est positif si V_h tourne horairement avec l'altitude et négatif dans le cas inverse.

Une façon rapide de visualiser l'hélicité est de pointer les vents avec l'altitude sur un hodographe, comme à droite, où la distance au centre représente la vitesse du vent et l'angle, sa direction. L'hélicité correspond alors selon la définition à la surface soutendue par la ligne qui joint le pointage des vents dans une couche d'altitude donnée ($\scriptstyle \vec V_h \times \left [ \frac {\vec \delta V_h} {\delta \mathbf Z} \right]$ ). Ainsi, si les vents changent de direction avec l'altitude, comme dans le graphique, on a une hélicité non nulle. Par contre, si les vents sont tous dans la même direction, on se retrouve avec une ligne et donc une surface nulle.

Interprétation physique

Cisaillement du vent (flèches rouges) avec l'altitude crée une rotation horizontale (vert). Le courant entrant est représenté par la flèche rouge large.

Le courant ascendant (bleu) verticalise la rotation (vert)

Le courant ascendant se mêle à la rotation

L'hélicité a ainsi des unités d'énergie (m² / s²) qui peuvent s'interpréter comme une mesure d'énergie du cisaillement des vents, incluant leur changement de direction. L'air qui se dirige parallèlement au sol vers un orage et qui est soumis à un tel cisaillement entre en rotation. Le courant ascendant dans un orage change l'axe de rotation vers la verticale ce qui verticalise la rotation et crée un mésocyclone. L'hélicité est donc une mesure de la rotation de l'air dans les bas niveaux de l'atmosphère que l'orage peut transformer en rotation verticale.

Hélicité relative

L'hélicité est ainsi utilisé pour définir des indices de potentiel de tornades. Cependant, dans ce cas on doit se placer dans le cadre de référence de l'orage en soustrayant la vitesse de celui-ci avec le sol. On limite également Z dans la couche entre la base du nuage et le milieu de celui-ci puisque c'est dans cette partie que la rotation sera générée (en général sous 3 km d'altitude)^[3] :

$HR = - \int \limits_{0}^{3 km} { \vec k \cdot \left [ \left ( \vec V_h - \vec C \right ) \times \left ( \frac {\vec \delta V_h} {\delta \mathbf Z} \right ) \right ] \,d{\mathbf Z } } \qquad \begin{cases} \vec C = Vitesse\ de\ d\acute{e}placement\ de\ l'orage \end{cases}$

Les valeurs critiques de cette hélicité relative (HR appelé SRH en anglais) trouvées pour les orages violents en Amérique du Nord sont^[1],[4] :

HR = 150 à 299	supercellules possibles avec risque de faibles tornades selon l'échelle de Fujita
HR = 300 à 499	très favorable au développement de supercellules et fortes tornades
HR > 450	violentes tornades

Lorsque calculé avec l'hélicité sous 1 km, le seuil unique est de 100.

Indice d'hélicité

Cependant, ces résultats sont très variables selon le type de convection et c'est pourquoi un indice alliant l'hélicité et l'Énergie Potentielle de Convection Disponible (EPCD) a été développé. Essentiellement, on multiplie H par l'EPCD et on divise le tout par une valeur seuil de l'EPCD^[5]. Ceci permet d'éliminer les zones de forts tourbillons horizontaux mais de potentiel de convection faible. Cet indice d'hélicité (IH ou EHI en anglais) a les valeurs seuils suivantes^[5] :

IH = 1	possible tornades
IH = 1 à 2	tornades moyennes à fortes
IH > 2	fortes tornades

Notes

1. ↑ ^{a  et b} (en)Martin Rowley (ancien météorologiste du UKMET]), « What is 'helicity'? », 17 janvier 2007, weatherfaqs.org.uk. Consulté le 2009-04-24
2. ↑ (fr)Centre météorologique canadien, « Indices de stabilité », Formation des météorologues, Service météorologique du Canada. Consulté le 2009-04-24
3. ↑ (en)Charles A. Doswell III, « On the Environments of Tornadic and Nontornadic Mesocyclones », dans Weather and Forecasting, American Meteorological Society, vol. 9, décembre 1994, p. 606–618 [texte intégral lien DOI (pages consultées le 2009-04-24)] [pdf]
4. ↑ (en)Storm Prediction Center, « Explanation of SPC Severe Weather Parameters », National Weather Service. Consulté le 2009-04-24
5. ↑ ^{a  et b} (en)Storm Prediction Center, « Energy-Helicity Index », National Weather Service. Consulté le 2009-04-24

Bibliographie

• (en) Batchelor, G. K., (1967, reprinted 2000) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press
• (en) Ohkitani, K., "Elementary Account Of Vorticity And Related Equations". Cambridge University Press. January 30, 2005. ISBN 0-521-81984-9
• (en) Chorin, Alexandre J., "Vorticity and Turbulence". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. ISBN 0-387-94197-5
• (en) Majda, Andrew J., Andrea L. Bertozzi, and D. G. Crighton, "Vorticity and Incompressible Flow". Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. ISBN 0-521-63948-4
• (en) Tritton, D. J., "Physical Fluid Dynamics". Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
• (en) Arfken, G., "Mathematical Methods for Physicists", 3^e éd. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-120-59820-5

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