Icosagone

Un icosagone est un polygone à 20 côtés possédant 170 diagonales.

Caractéristiques d'un icosagone régulier

Si a est la longueur d'une arête.

Périmètre

$\,P = 20 a$

Aire

$\,S = \frac {20 a^2} {4 \tan(\frac {\pi} {20})}$

Apothème

$\,H = \frac {2A} {P} = \frac {a} {2 \tan(\frac {\pi} {20})}$

Rayon

$\,R = \frac {H} {\cos(\frac {\pi} {20})} = \frac {a} {2 \sin(\frac {\pi} {20})}$

Valeurs remarquables d'un icosagone régulier

Pour les angles au centre

• Angle au centre: 18°
• Somme des angles au centre: 360°

Pour les angles internes

• Angle interne: environ 162°
• Somme des angles internes: 3 240°

Pour les angles externes

• Angle externe: environ 198°
• Somme des angles externes: 3 960°

Construction exacte d'un icosagone régulier à partir d'un rectangle d'or

• Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].

• Soit H le milieu de [OA].

• La médiatrice de [AB] coupe le cercle Γ en C et en un autre point D.

• Le cercle Γ' de centre H et de rayon HC coupe [OB] en E.

• Ici, OC et AE représentent respectivement la largeur et la longueur d'un rectangle d'Or.

• On reporte maintenant la longueur OE sur le cercle Γ à partir du point B (au compas) et on obtient le point M.

• La médiatrice de [MB] coupe le cercle Γ en I.

• L'arc de cercle BI est en fait la vingtième partie du cercle Γ. Le segment [BI] est donc un côté de l'icosagone régulier inscrit dans le cercle.

• Il ne reste plus qu'à reporter cinq fois la longueur BI sur le cercle, et ce jusqu'au point C.

• Il suffit maintenant de construire le symétrique des cinq points précédemment obtenus par rapport à (CO).

• La construction du symétrique des dix points précédemment obtenus par rapport à (AB) permet alors d'obtenir la division du cercle en vingt parties égales.

• Joindre enfin les vingt points pour tracer l'icosagone.

Voir aussi

• Polygone
• Polygone régulier