Identite des quatre carres d'Euler

Identite des quatre carres d'Euler

Identité des quatre carrés d'Euler

En mathématiques, l'identité des quatre carrés d'Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés. Précisément :

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\,
=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\,
+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,

Le mathématicien suisse Euler écrivit à propos de cette identité en 1750. Elle se démontre facilement par simple calcul d'algèbre élémentaire et se conserve dans chaque anneau commutatif. Si a et b sont des nombres réels, une démonstration plus élégante est valide : l'identité exprime le fait que la valeur absolue du produit de deux quaternions est égale au produit de leurs valeurs absolues, de la même manière que l'identité de Brahmagupta pour les nombres complexes.

L'identité fut utilisée par Lagrange pour prouver son théorème des quatre carrés. Elle est utilisée en arithmétique modulaire.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Identit%C3%A9 des quatre carr%C3%A9s d%27Euler ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Identite des quatre carres d'Euler de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Identité Des Quatre Carrés D'Euler — En mathématiques, l identité des quatre carrés d Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui même une somme de quatre carrés. Précisément  …   Wikipédia en Français

  • Identité des quatre carrés d'euler — En mathématiques, l identité des quatre carrés d Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui même une somme de quatre carrés. Précisément  …   Wikipédia en Français

  • Identité des quatre carrés d'Euler — En mathématiques, l identité des quatre carrés d Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui même une somme de quatre carrés. Précisément : Le mathématicien suisse Leonhard Euler donne cette… …   Wikipédia en Français

  • Identité des huit carrés de Degen — En mathématiques, et plus précisément en algèbre, l’identité des huit carrés de Degen montre que le produit de deux nombres, dont chacun est une somme de huit carrés, est lui même une somme de huit carrés. Identité de Degen Si les ai et les bj… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des quatre carrés de Lagrange — Le théorème des quatre carrés de Lagrange, est également connu sous le nom de conjecture de Bachet  ; il a été énoncé pour la première fois par Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621, dans les notes accompagnant sa traduction en latin du… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des quatre carres de Lagrange — Théorème des quatre carrés de Lagrange Le théorème des quatre carrés de Lagrange, aussi connu sous le nom de conjecture de Bachet et démontré en 1770 par le mathématicien français Joseph Louis Lagrange correspond à une équation diophantienne qui… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des quatre carrés — de Lagrange Le théorème des quatre carrés de Lagrange, aussi connu sous le nom de conjecture de Bachet et démontré en 1770 par le mathématicien français Joseph Louis Lagrange correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des quatre carrés de lagrange — Le théorème des quatre carrés de Lagrange, aussi connu sous le nom de conjecture de Bachet et démontré en 1770 par le mathématicien français Joseph Louis Lagrange correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l… …   Wikipédia en Français

  • Identite remarquable (mathematiques elementaires) — Identité remarquable Pour les articles homonymes, voir Identité. En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s appliquent à des nombres. Elles servent en général à accélérer les… …   Wikipédia en Français

  • Identité remarquable (maths élém) — Identité remarquable Pour les articles homonymes, voir Identité. En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s appliquent à des nombres. Elles servent en général à accélérer les… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”