Identité de Lagrange

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Lagrange, découverte par Joseph Louis Lagrange, est une formule transformant un produit de sommes de carrés en une autre somme de carrés ; elle a d'importantes conséquences sur les propriétés du produit vectoriel.

Formulations algébriques de l'identité

L’identité de Lagrange est^[1],[2] :

$\begin{align} \biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 & = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2 \\ & \biggl(= {1 \over 2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2\biggr)\ ; \end{align}$

elle s'applique à deux ensembles quelconques {a₁, a₂, . . ., a_n} et {b₁,b₂, . . ., b_n} de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, à des éléments d'un anneau commutatif). C'est un cas particulier de l'identité de Binet-Cauchy.

Dans une notation vectorielle plus compacte, on peut l'écrire^[3] :

$\| \mathbf a \|^2 \ \| \mathbf b \|^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2 = \sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \ ,$

où a et b sont des vecteurs à n dimensions, et à coordonnées réelles. L'extension au cas complexe demande de remplacer le produit scalaire par un produit hermitien^[4] :

$\biggl( \sum_{k=1}^n |a_k|^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\biggr) - \biggl|\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr|^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |a_i \overline{b}_j - a_j \overline{b}_i|^2$

(où |z| est le module de z)^[5].

Le membre de droite de l'égalité étant évidemment positif, l'identité de Lagrange entraîne l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas des espaces euclidiens tels que ℝⁿ, et son analogue dans les espaces hermitiens (comme ℂⁿ).

Les cas particuliers n=2 et n=3 ont des interprétations géométriques : pour n=2, on obtient l'identité de Diophante: $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1+a_2b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2$ , ce qui correspond à la multiplicativité du module dans les complexes, puisque, en posant z₁ = a₁ + ia₂ et z₂ = b₂ + ib₁, cette formule équivaut à | z₁z₂ | ² = | z₁ | ² | z₂ | ² ; le cas n = 3 est discuté plus bas, dans la section consacrée au produit vectoriel.

Démonstration de la version algébrique

La preuve suivante^[6] correspond à un calcul algébrique direct, et est par conséquent valable dans tout anneau commutatif.

$\begin{align}\sum_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2&=\sum_{1\le i<j\le n}(a_i^2b_j^2-2a_ib_ia_jb_j+a_j^2b_i^2)\\ &=\sum_{1\le i,j\le n,~i\ne j}(a_i^2b_j^2-a_ib_ia_jb_j)\\ &=\sum_{1\le i,j\le n}(a_i^2b_j^2-a_ib_ia_jb_j)\\ &=\left( \sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{j=1}^n b_j^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)\left(\sum_{j=1}^n a_j b_j\right).\end{align}$

L'identité de Lagrange en algèbre extérieure

Utilisant le produit extérieur, l'identité de Lagrange peut s'écrire :

$(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b).$

Elle donne donc la norme du produit extérieur de deux vecteurs en fonction de leur produit scalaire :

$\|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2}.$

L'identité de Lagrange et le produit vectoriel

En trois dimensions, l'identité de Lagrange dit que le carré de l'aire d'un parallèlogramme est égal à la somme des carrés des aires de ses projections sur les trois plans de coordonnées. Algébriquement, si a et b sont des vecteurs de ℝ³ de norme |a| and |b|, on peut écrire l'identité à l'aide du produit vectoriel et du produit scalaire^[7],[8] :

$|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf {a \cdot b})^2 = |\mathbf {a \times b}|^2.$

En effet, le membre de gauche vaut

$|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2(1-\cos^2\theta) = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2\sin^2\theta$

où θ est l'angle formé par les vecteurs a et b; c'est l'aire du parallélogramme de côtés |a| et |b| et d'angle θ(voir aussi l'article déterminant), et donc le membre de gauche est le carré de cette aire. Le produit vectoriel de droite est défini par

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k}$ ,

vecteur dont les coordonnées sont (en valeur absolue) les aires des projections du parallélogramme sur les plans yz, zx, et xy respectivement.

En dimension 7

Article principal : Produit vectoriel en dimension 7.

Pour des vecteurs a et b de ℝ⁷, l'identité de Lagrange peut s'écrire, comme dans le cas de ℝ³, sous la forme^[9] :

$|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 -|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 \ ,$

Cependant, le produit vectoriel en dimension 7 n'a pas toutes les propriétés du produit vectoriel usuel. Ainsi, par exemple, il ne vérifie pas l'identité de Jacobi^[9].

Interprétation par les quaternions

Un quaternion p est défini comme la somme d'un d scalaire t et d'un vecteur v :

$p = t + \mathbf v = t + x \ \mathbf i +y \ \mathbf j + z\ \mathbf k.$

Le produit de deux quaternions p = t + v et q = s + w est défini par

$pq = (st - \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) + s\mathbf{w}+ t\mathbf{v}+\mathbf{v}\times\mathbf{w}.$

Le conjugué de q est

$\overline{q} = t - \mathbf{v},$

et le carré de sa norme est

$|q|^2 = q\overline{q} = t^2 \ + \ x ^2 + \ y^2 \ +\ z^2.$

On a la multiplicativité de la norme, c'est-à-dire que, pour des quaternions p et q, on a^[10] :

$|pq| = |p| |q|.\,$

Les quaternions p et q sont dits imaginaires (ou purs) si leur partie scalaire est nulle, ou encore si

$p = \mathbf{v},\quad q=\mathbf{w}.$

L'identité de Lagrange (en dimension 3) revient simplement à affirmer la multiplicativité de la norme pour les quaternions imaginaires

$|\mathbf{v}\mathbf{w}|^2 = |\mathbf{v}|^2|\mathbf{w}|^2,\,$

puisque, par définition,

$|\mathbf{v}\mathbf{w}|^2 = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^2 + |\mathbf{v}\times\mathbf{w}|^2.$

(la multiplicativité pour des quaternions quelconques donne une autre identité importante, l'identité des quatre carrés d'Euler).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lagrange's identity » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, CRC Press, 2003 (ISBN 1584883472) [lire en ligne] 
2. ↑ (en) Robert E Greene et Steven G Krantz, Function theory of one complex variable, American Mathematical Society, 2006 (ISBN 0821839624) [lire en ligne] 
3. ↑ (en) Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann, Dimension theory for ordinary differential equations, Vieweg+Teubner Verlag, 2005 (ISBN 3519004372) [lire en ligne] 
4. ↑ (en) J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, 2004, 68–69 p. (ISBN 052154677X) [lire en ligne] 
5. ↑ (en) Robert E. Greene et Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, American Mathematical Society, 2002 (ISBN 978-0-8218-2905-9) 
6. ↑ Voir, par exemple page 4 du chapitre 7 de ce livre de Frank Jones, Rice University.
7. ↑ (en) Howard Anton, Chris Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, John Wiley and Sons, 2010 (ISBN 0470432055) [lire en ligne] 
8. ↑ (en) Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, 2001 (ISBN 0521005515) [lire en ligne] 
9. ↑ ^{a et b} (en) Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, 2001 (ISBN 0521005515)  Voir en particulier § 7.4 Cross products in ℝ⁷, p. 96.
10. ↑ (en) Jack B. Kuipers, Quaternions and rotation sequences: a primer with applications to orbits, Princeton University Press, 2002 (ISBN 0691102988) [lire en ligne] 

Voir aussi

• Identité de Brahmagupta