Identité hypergéométrique

Identité hypergéométrique

Une identité hypergéométrique est un résultat sur des sommes de termes d'une série hypergéométrique. De telles identités apparaissent fréquemment dans des problèmes de combinatoire et d'analyse d'algorithme. Les premières identités ont été trouvées à la main par des mathématiciens brillants comme Carl Friedrich Gauss ou Ernst Kummer. Maintenant, l'objectif est d'obtenir des algorithmes qui automatisent les démonstrations de ces inégalités.

La liste des identités hypergéométriques est parfois appelée liste de Bailey suite à l'ouvrage de Wilfrid Norman Bailey (en)[1].

Parmi les identités hypergéométriques les plus classiques

 \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}, \qquad \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}^2 = {2n \choose n} \qquad \mbox{ et } \qquad\sum_{k} k {n \choose k} = n2^{n-1}.

Sommaire

Automatisation de la preuve

La preuve automatisée repose sur deux étapes :

  • trouver une expression simple de la somme hypergéométrique, dans le meilleur des cas une forme close ;
  • montrer par A=B que cette expression est bien égale à la somme initiale.

Pour chaque type de somme hypergéométrique, il existe de nombreuses méthodes pour trouver une expression simple. Ces méthodes offrent aussi une preuve de l'égalité. On peut nommer :

Les méthodes employées font souvent appel à des résultats du calcul formel.

Référence

  1. (en) W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics » (no 32), 1935 

Voir aussi

Article connexe

Théorème hypergéométrique de Gauss

Liens externes



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