Algebre d'Azumaya

Algèbre d'Azumaya

En mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de Goro Azumaya en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964.

Dans le cas où R est un anneau local, une algèbre d'Azumaya A est une R-algèbre libre et de rang fini r, telle que son produit tensoriel avec son algèbre opposée soit isomorphe à une l'algèbre de matrices carrées de taille r sur R.

Du point de vue de la théorie des schémas, Grothendieck la définit comme un faisceau A de O_X-algèbres (où X est un schéma, et O_X son faisceau structurel) localement isomorphe à un faisceau d'algèbres de matrices. Milne prend en revanche la définition selon laquelle les fibres A_x sont des algèbres d'Azumaya sur les anneaux locaux O_X,x en tout point x.Le groupe de Brauer est alors définit comme l'ensemble des classes d'équivalence d'algèbres d'Azumaya selon la relation : deux algèbres A₁ et A₂ sont équivalentes s'il existe des faisceaux localement libres E₁ et E₂ tels que :

$A_1\otimes\mathrm{End}(E_1) \simeq A_2\otimes\mathrm{End}(E_2).$

Une structure de groupe est obtenue à partir du produit tensoriel, l'opposé étant donné par l'algèbre opposée.

Cette notion a des applications en géométrie arithmétique, notamment grâce au travail de Yuri Manin sur les obstructions au principe de Hasse.

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