Algebre graduee

Algèbre graduée

En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre (ou un anneau commutatif) dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

Définition

Soit K un corps (ou éventuellement un anneau commutatif). Une algèbre A est dite graduée (parfois $\N$-graduée) s'il existe une famille de sous-espaces vectoriels $(A_i)_{i\in\N}$ de A tels que

• $A = \bigoplus_{i\in\N}A_i$
• $\forall i,j\in\N,\;A_iA_j\subset A_{i+j}$.

Les éléments de A_i sont appelés homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A₀ = A, et A_i = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Exemples

• Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées A[X₁,X₂,...], pour lesquels les éléments homogènes (de degré k) sont des combinaisons linéaires de monômes $X_1^{n_1} X_2^{n_2}...$ de même degré total k.
• L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme $v_1\otimes v_2\otimes\dots\otimes v_n$.
• L'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées. Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est gradué (i.e. $I=\bigoplus_{i\in\N}A_i\cap I$), le quotient A / I est également gradué.

Ce document provient de « Alg%C3%A8bre gradu%C3%A9e ».