Image Réciproque

Image réciproque

L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application $f:X\rightarrow Y$ est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : $f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}$.

Exemple : Considérons l'application $f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}$, définie par

$1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d$

L'image réciproque de {a,b} par f est f ^{− 1}({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition, f^-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque f^-1. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par f^-1.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties B₁ et B₂ de Y,

$f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$.

$f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$.

• Pour toute partie B de Y, $f(f^{-1}(B)) \subset B$.

$\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}$

• Pour toute partie A de X, $A\subset f^{-1}(f(A))$

$\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}$

• Pour toutes parties A et B de Y,

$f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)$

• Pour toute famille $\left(B_i\right)_{i\in I}$ de parties de Y,

$f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)$

$f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$

• Si l'on considère de plus une application $g:Y\rightarrow Z$, alors pour toute partie C de Z,

$(gof)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Voir aussi

• Image directe
• Théorie des ensembles

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