Implication (mathématiques)

Implication (logique)

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En logique classique, l'expression « une proposition P implique logiquement une proposition Q » signifie « la proposition ¬P ∨ Q est vraie ». Formellement cela s'écrit P ⇒ Q.

En logique intuitionniste, P ⇒ Q signifie que si l'on a une démonstration de P alors on a une démonstration de Q.

Le symbole « ⇒ » s’appelle connecteur d’implication. « P ⇒ Q » s’appelle une implication logique.

Propriétés

La table de vérité^[1] de l’implication est donnée par le tableau :

P	Q	¬P	P ⇒ Q
vrai	vrai	faux	vrai
vrai	faux	faux	faux
faux	vrai	vrai	vrai
faux	faux	vrai	vrai

Soient P, Q et R trois propositions.

• (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q) (définition)
• (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) s'écrit aussi P ⇔ Q ; c'est l'équivalence logique.
• P ⇒ P (l’implication est réflexive)
• ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) (transitivité de l'implication ou règle du modus barbara)
• (¬(P ⇒ Q)) ⇔ (P ∧ ¬Q) (négation d'une implication)
• ((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q (règle du modus ponens ou principe du syllogisme)
• ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P (règle du modus tollens)
• (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) (règle de contraposition : une implication est équivalente à sa contraposée)
  

• (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)) (loi de réciprocité)
• ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ R (disjonction des cas)

Non associativité de l'implication

Si l'implication était associative, les formules :

• ((P ⇒ Q) ⇒ R)
• (P ⇒ (Q ⇒ R))

devraient prendre les mêmes valeurs de vérité pour P, Q et R. Or en prenant P fausse, Q vraie et R fausse, on a, d'une part, (P ⇒ Q) ⇒ R fausse et, d'autre part, P ⇒ (Q ⇒ R) vraie.

En effet,

• puisque P est fausse, la proposition P ⇒ Q est vraie et puisque R est fausse, la proposition (P ⇒ Q) ⇒ R est fausse ;

• puisque Q est vraie et R est fausse, l’implication (Q ⇒ R) est fausse et puisque P est fausse, l’implication P ⇒ (Q ⇒ R) est vraie.

Différence avec l'équivalence

Voici un exemple de relation d'implication : « il fait beau » ⇒ « je suis heureux ». Cette proposition est vraie si je suis toujours heureux quand il fait beau.

À ne pas confondre avec la relation d'équivalence qui elle implique que je ne sois heureux QUE lorsqu'il fait beau. Cette confusion est à l'origine du sophisme de l'affirmation du conséquent.

• La relation d'implication représente le SI (⇒) une condition suffisante dans un sens, une condition nécessaire dans l'autre : dans A ⇒ B, A est une condition suffisante de B, et B est une condition nécessaire de A
  — et —
• la relation d'équivalence représente le SI ET SEULEMENT SI (⇔), une condition nécessaire et suffisante ;
  A ⇔ B équivaut à (A ⇒ B) ET (B ⇒ A)

voir aussi : Propriété contraposée

Implication et causalité

En dépit de sa notation (⇒) qui pourrait laisser suggérer une relation de cause à effet, l'implication logique n'a pas, en logique classique, de caractère séquentiel comme l'ont une cause et un effet. Le temps ne joue pas de rôle et il faut donc le définir explicitement si l'on veut qu'il joue un rôle (voir logique temporelle). En revanche, c'est pour intégrer ce genre de préoccupation que les logiciens ont introduit des logiques constructives, comme la logique intuitionniste ou la logique linéaire.

Divers

La table de vérité de l'implication était connue dès la Grèce antique, notamment par les stoïciens : « Du vrai suit le vrai... Du faux suit le faux... Du faux suit le vrai... Mais du vrai, le faux ne peut s'ensuivre »^[2].

Liens internes

• Déduction naturelle
• Équivalence logique
• Logique mathématique, logique classique, logique intuitionniste, logique linéaire
• Modus ponens
• Modus tollens

Notes et références

1. ↑ donc en logique classique.
2. ↑ Diogène Laërce, Vies et doctrines des philosophes, livre VII, 83

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