Indice d'un groupe

Indice d'un groupe

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Définition

Soit G un groupe fini, H un sous-groupe de G et t un nombre naturel strictement positif. Selon le Théorème de Lagrange, on sait que la cardinalité de H divise la cardinalité de G :

$\mbox{card}(H) \mid \mbox{card} (G)$.

En d'autres termes, on peut aussi écrire :

$\mbox{card} (G) = \mbox{card} (H) \times t$.

Ce nombre naturel t est justement nommé « l'indice de H dans G ». Cet indice est noté :

t = [G:H]

d'où l'écriture du Théorème de Lagrange :

$\mbox{card} (G) = \mbox{card} (H) \times [G:H]$.

Exemple

Calculons $[\mathbb Z_{10}:\langle\overline 2\rangle ]$, où $\langle\overline 2\rangle$ est le sous-groupe de $\mathbb Z_{10}$ généré par la classe d'équivalence de 2 (mod10). Ici, l'opération est l'addition usuelle des nombres entiers.

Il faut d'abord trouver la cardinalité de chacun des deux groupes :

• On sait que $\mathbb Z_{10}$ est formé de 10 éléments $\{\overline 0 , \overline 1 , \overline 2 , \overline 3 , \overline 4 , \overline 5 , \overline 6 , \overline 7 , \overline 8 , \overline 9 \}$.

• Pour ce qui est de $\langle\overline 2\rangle$, on doit trouver tous les éléments formant le groupe :

$\overline 2 = \overline 2$

$\overline 2 + \overline 2 = \overline 4$

$\overline 2 + \overline 2 + \overline 2 = \overline 6$

$\overline 2 + \overline 2 + \overline 2 + \overline 2 = \overline 8$

$\overline 2 + \overline 2 + \overline 2 + \overline 2 + \overline 2 = \overline 0$.

Ainsi, le groupe généré par $\langle\overline 2\rangle$ contient 5 éléments.

Il ne reste qu'à diviser $\mbox{card} (\mathbb Z_{10})$ par $\mbox{card} (\langle\overline 2\rangle)$, sachant que ces cardinalités sont respectivement 10 et 5.

∴ On a $[\mathbb Z_{10}:\langle\overline 2\rangle ] = 2$.

Voir aussi

• Théorème de Lagrange sur les groupes
• Théorie des groupes
• Groupe fini
• Indice

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