Inegalite arithmetico-geometrique

Inegalite arithmetico-geometrique

Inégalité arithmético-géométrique

Étant donnés n réels strictement positifs x_1,\, \dots,\, x_n, on définit leur moyenne arithmétique \ m_a et leur moyenne géométrique \ m_g :

m_a = \frac{1}{n}\, (x_1 + \cdots + x_n) et m_g = \sqrt[n\,]{x_1  \cdots  x_n}.

Il est classique que :

  • m_g \leq m_a.
  • \ m_g  = m_a si et seulement si les \ x_i sont tous égaux.

On démontre habituellement cela à l’aide d’une inégalité de convexité.


Démonstration

Comme \ m_g > 0 et \ m_a > 0, m_g \leq m_a équivaut (par croissance stricte du logarithme)

à \ln(m_g) \leq \ln(m_a),
ou à \frac{1}{n}\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right).
Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de convexité appliquée à la fonction logarithme népérien (concave), et aux coefficients (tous égaux) t_1 = \cdots = t_n = \frac{1}{n}.

Le cas d'égalité résulte de ce que le logarithme népérien est strictement concave.

Ce document provient de « In%C3%A9galit%C3%A9 arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inegalite arithmetico-geometrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Inégalité arithmético-géométrique — En mathématiques, l inégalité arithmético géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C est un résultat classique lié à la convexité. Énoncé Étant donnés n réels strictement positifs , on définit leur… …   Wikipédia en Français

  • Inegalite de Jensen — Inégalité de Jensen En mathématiques, en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de …   Wikipédia en Français

  • Inégalité De Jensen — En mathématiques, en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de deux manières  …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de jensen — En mathématiques, en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de deux manières  …   Wikipédia en Français

  • Inegalite de Holder — Inégalité de Hölder En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité De Hölder — En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans Lq(S). Alors fg… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de hölder — En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans Lq(S). Alors fg… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de Jensen — En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906[1]. On peut l écrire de …   Wikipédia en Français

  • Inégalité (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir inégalité. En mathématiques, une inégalité est un énoncé permettant de comparer la taille, ou l ordre de deux objets (dans le cas où ils seraient égaux, on a une égalité) La notation a < b signifie que a est… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de Hölder — En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp et aux espaces de suites . Sommaire 1 Enoncé 2 Applications …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”