Inegalite de Markov

Inegalite de Markov

Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Sommaire

Énoncé

Inégalité de Markov —  Soit \scriptstyle\ Z\ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

\forall a >0,\qquad \mathbb P(Z\geq a)\leq\frac{\mathbb{E}[Z]}{a}.

Corollaire

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:

Corollaire — Soit \scriptstyle\ \phi\ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle \scriptstyle\ I.\ Soit \scriptstyle\ Y\ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ et telle que \scriptstyle\ \mathbb P(Y\in I)=1.\ Alors

\forall b \in I,\text{ tel que }\phi(b)>0,\qquad \mathbb P(Y\geq b)\leq\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}.

Applications

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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