Inegalite des accroissements finis pour les fonctions a valeurs vectorielles

Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

La majoration des accroissements finis est une adaptation de l'inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles.

Énoncé : Soit E un espace vectoriel normé, et f une fonction définie sur un segment non vide de $\R$, [a,b], à valeurs dans E. g est une fonction réelle définie sur [a,b]. On suppose que f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[ et que :

$\forall t \in ]a,b[, ||f'(t)|| \leq g'(t)$

On peut alors dire que $||f(b) - f(a)|| \leq g(b) - g(a)$.

Ce théorème est d'autant plus surprenant qu'il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n'y a pas d'égalité des accroissements finis, mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par $\forall t \in [0,2\pi], f(t) = e^{it}$. On a f(0) = f(2π), mais la dérivée ne s'annule nulle part entre 0 et 2π.

On en déduit par exemple qui si une fonction est dérivable et que sa dérivée est nulle, alors cette fonction est constante.

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