Algèbre de Hopf quasi-triangulaire

En mathématiques, une algèbre de Hopf H est dite quasi-triangulaire s'il existe un élément inversible $R \in H \otimes H$ qui vérifie :

• $\forall x \in H,\ \Delta^{op}(x)=R\Delta(x) R^{-1}$
• $(1 \otimes \Delta)(R)=R_{13}R_{12}$
• $(\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}R_{23}$

où :

• Δ est le coproduit de H
• Si $\Delta(x)=\sum x_i^{(1)} \otimes x_i^{(2)}$, alors $\Delta^{op}(x)=\sum x_i^{(2)} \otimes x_i^{(1)}$
• Si $R=\sum a_i \otimes b_i$, alors
  • $R_{12}=\sum a_i \otimes b_i \otimes 1$
  • $R_{13}=\sum a_i \otimes 1 \otimes b_i$
  • $R_{23}=\sum 1 \otimes a_i \otimes b_i$

Applications

Mécanique statistique

À partir des relations précédente, on prouve que R fournit une solution de l'equation de Yang-Baxter quantique :

R₁₂R₁₃R₂₃ = R₂₃R₁₃R₁₂

Algèbre et topologie

La donnée d'un algèbre de Hopf quasi-triangulaire permet de construire des représentations du groupe de tresse. Plus précisément, la catégorie des représentations d'une algèbre de Hopf quasi-triangulaire est une catégorie monoïdale tressée.

Voir aussi

• algèbre de Hopf
• algèbre de quasi-Hopf
• algèbre de Lie
• cohomologie des groupes de Lie

Références

• Christian Kassel, Quantum Groups, Springer-Verlag, Vol. 155 (1995)