Algèbre géométrique (structure)

Pour les articles homonymes, voir « Algèbre (homonymie) » et notamment la branche de mathématiques appelée algèbre géométrique.

L'algèbre géométrique est une algèbre multilinéaire avec une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes (en), reprenant les travaux de Hermann Grassmann et Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques). Le but avoué de l'auteur de cette algèbre est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombre complexe, spineurs, quaternions, formes différentielles...). Le nom choisi par David Henestes (Geometric Algebra) correspond au nom que Clifford voulait donner à son algèbre, mais qui fut nommé algèbre de Clifford.

L'algèbre géométrique se veut utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Ses partisans disent qu'elle fournit une description plus compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

Le produit géométrique

Soit un espace vectoriel. Le produit géométrique est défini, pour trois vecteurs $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$, à partir des règles suivantes :

1. $\mathbf{a}(\mathbf{b} \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\mathbf{b}) \mathbf{c}\,$ (associativité)
2. $\mathbf{a}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{a}\mathbf{c}\,$ (distributivité à droite)
3. $(\mathbf{a} + \mathbf{b})\mathbf{c} = \mathbf{a}\mathbf{c} + \mathbf{b}\mathbf{c}\,$ (distributivité à gauche)
4. $\mathbf{a}^2 = |\mathbf{a}|^2\,$ (contraction)

où $|\mathbf{a}|\,$ est un nombre scalaire positif appelé magnitude (norme) de $|\mathbf{a}|\,$ et où $|\mathbf{a}|=0\,$ implique $\mathbf{a}=0$

Il faut noter l'absence de règle de commutativité. D'où la nécessité de postuler séparément les distributivités droite et gauche.

Décomposition canonique du produit géométrique

À partir du produit géométrique, deux nouveau produits sont définis.

• Le produit intérieur, symétrique :

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{a}\right) = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

• Le produit extérieur, antisymétrique :

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}-\mathbf{b}\mathbf{a}\right) =-\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}$

• On obtient ainsi la décomposition canonique du produit géométrique:

$\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$

À partir de la règle de contraction (4), il peut être prouvé que le produit intérieur $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ donne un résultat scalaire, et qu'il peut donc être identifié au produit scalaire Euclidien. Le produit extérieur $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$, lui, est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée.

La légitimité d'ajouter des scalaires à des vecteurs ou des bivecteurs sera discutée plus loin.

Autres relations

Si $\mathbf a \, \mathbf b$ sont perpendiculaires, on aura :

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$, d'où

$\mathbf{a}\mathbf{b}=- \mathbf{b}\mathbf{a}$

Si $\mathbf a \, \mathbf b$ sont colinéaire, on aura :

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=0$, d'où

$\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{b}\mathbf{a}$

Bases et bivecteurs

Pour un ensemble de vecteurs orthonormés ${\mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2},...}$, les propriétés de multiplications peuvent être résumées sous cette forme.

$\mathbf{\sigma_i} \cdot \mathbf{\sigma_j} = \frac{1}{2}\left(\mathbf{\sigma_i}\mathbf{\sigma_j} + \mathbf{\sigma_j} \mathbf{\sigma_i}\right)=\delta_ij$

avec δ_ij, symbole de Kronecker. Cette relation s'applique à tout vecteur d'espace Euclidien, quelle que soit sa dimension, mais pour le moment nous nous concentrerons au cas à deux dimensions.

Un bivecteur unité $\mathbf{i}\,$ pour le plan contenant $\mathbf{\sigma_1}\,$ et $\mathbf{\sigma_2}\,$ est déterminé par le produit :

$\mathbf{i}=\mathbf{\sigma_1}\mathbf{\sigma_2}=\mathbf{\sigma_1} \wedge \mathbf{\sigma_2} = -\mathbf{\sigma_2}\mathbf{\sigma_1}$

On a la propriété importante $\mathbf{i^2}=-1\,$.

$\mathbf{i}\,$ est une version géométrique de $\sqrt{-1}$.

On aura également les relations suivantes :

$\mathbf{\sigma_2}=\mathbf{\sigma_1}\mathbf{i}=-\mathbf{i}\, \mathbf{\sigma_1}\,$

et

$\mathbf{\sigma_1}=\mathbf{i}\mathbf{\sigma_2}$

C'est-à-dire que la multiplication $\mathbf{i}\,$ tourne tout vecteur d'un quart de tour. Plus généralement, il s'ensuit que chacun des bivecteurs unité $\mathbf{i}\,$ détermine un plan unique dans un espace euclidien. Chaque $\mathbf{i}\,$ a deux interprétations complémentaires : soit une aire orientée, soit, en tant qu'opérateur, un angle droit orienté dans ce plan.

Vecteurs et nombres complexes

Interprétation du produit géométrique

Le produit d'une paire de vecteurs unitaires $\mathbf{a},\mathbf{b}\,$ génère une nouvelle entité $U\,$ dénommé un ?tourneur? ?rotateur? (rotor en anglais), selon l'expression suivante :

$U = \mathbf{a}\mathbf{b}$

La direction relative des deux vecteurs est complètement caractérisée par l'arc orienté qui les relie, il est donc possible d'interpréter U comme une représentation de cet arc. Le nom tourneur est justifié par le fait que U transforme $\mathbf{a}\,$ et $\mathbf{b}\,$ l'un envers l'autre par rotation.

$\mathbf{b}=\mathbf{a} U$

$\mathbf{a}=U \mathbf{b}$

On peut noter également que :

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = cos\theta$

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \mathbf{i} sin\theta$

Avec $\theta\,$, angle entre $\mathbf{a}\,$ et $\mathbf{b}$

On pourra écrire  :

$U_{\theta} = cos \theta + \mathbf{i} sin\theta = e^{i\theta}$

avec le bivecteur $\mathbf{i}=\mathbf{\sigma_1}\mathbf{\sigma_2}$

Le produit géométrique représente une rotation

Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.

Une composition de rotation 2D s'exprimera par le produit de 2 vecteurs

U_θU_ϕ = U_{θ + ϕ}

Nombres complexes

Tout produit géométrique $\mathbf{a}\mathbf{b}$ peut être interprété comme un nombre complexe

$z =\lambda U = \lambda e^{\mathbf{i}\theta} = \mathbf{a}\mathbf{b}$

de module $| z | = \lambda = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$. z peut être interprété géométriquement comme un arc orienté d'un cercle de rayon | z | . Conséquemment, la partie réelle de tout nombre complexe peut être vu comme le produit intérieur de deux vecteurs. De même, la partie imaginaire de tout nombre complexe peut être vu comme le produit extérieur de deux vecteurs. Le nombre complexe conjugué est

$z^{\dagger} = \lambda U^{\dagger} = \lambda e^{-\mathbf{i}\theta} = \mathbf{b}\mathbf{a}$

qui revient à renverser l'ordre du produit géométrique. Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du nombre complexe z.

$|z|^2 = z z^{\dagger} = \lambda^2 = \mathbf{b}\mathbf{a}\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 = |a|^2|b|^2$

Le nombres complexes peuvent ainsi être utilisé directement sur les vecteurs :

$\mathbf{b}=\mathbf{a}^{-1}z = z^{\dagger}\mathbf{a}^{-1}$

avec l'inverse du vecteur $\mathbf{a}$ donné par

$\mathbf{a}^{-1} = \frac{1}{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{a}^2} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}$

Ici, le nombre complexe z opère une rotation sur le vecteur $\mathbf{a}$, le met à l'échelle pour donner le vecteur $\mathbf{b}$ (c'est une similitude).

Algèbre géométrique et physique classique

Espace euclidien 3D et géométrie algébrique

Soit l'espace vectoriel euclidien $\mathcal{P}^3$. Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique $\mathcal{G}_3 = \mathcal{G}\left(\mathcal{P}^3\right)$. En particulier, une base pour l'algèbre géométrique peut être générée par l'ensemble des vecteur orthonormés $\lbrace \mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2}, \mathbf{\sigma_3}\rbrace$

A l'aide du produit géométrique, un trivecteur unique (un pseudoscalaire) peut être défini :

$i = \mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}$

L'unité pseudoscalaire i représente un volume orienté.

On a également la base de bivecteurs suivante

$\mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2}=i\mathbf{\sigma_3},\, \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}=i\mathbf{\sigma_1},\, \mathbf{\sigma_3} \mathbf{\sigma_1}=i\mathbf{\sigma_2}$

Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.

Le pseudoscalaire i a des propriétés spéciales qui facilite le passage entre l'espace vectoriel Euclidien et l'algèbre géométrique. On a :

i² = − 1

Tout bivecteur $\mathbf{B}$ de $\mathcal{G}_3$ est le dual d'un vecteur $\mathbf{b}$ en considérant la relation :

$\mathbf{B}=i\mathbf{b} = \mathbf{b}i$

Ainsi l'opération de dualité géométrique est simplement exprimée par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'écrire le produit extérieur sous cette forme :

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = i \mathbf{a} \times \mathbf{b}$,

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ étant le "cross-product anglo-saxon", qui correspond au produit vectoriel dans la littérature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement noté $\wedge\,$ comme le produit extérieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement défini comme le dual du produit extérieur. Par conséquent, la décomposition canonique du produit géométrique peut être mis sous la forme :

$\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.

Les éléments dans tous les algèbres géométrique sont dénommés des multivecteurs. Les propriétés spéciales du pseudoscalaire i permettent d'écrire tout multivecteur M de $\mathcal{G}_3$ dans sa forme étendue :

$M = \alpha + \mathbf{a}+ i \mathbf{b}+i\beta$,

où α et β sont des scalaires et où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans $\mathcal{G}_3$ à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.

L'algèbre géométrique $\mathcal{G}_3$ est un espace linéaire de dimension 1 + 3 + 3 + 2 = 2³ = 8

La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un "scalaire complexe" α + iβ augmenté d'un "vecteur complexe" $\mathbf{a}+ i \mathbf{b}$, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

Discussion

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique est défini en termes de produit vectoriel et produit scalaire de vecteurs comme

$\mathbf a \, \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b$

L'espace vectoriel original $\mathcal V$ est construit sur les nombres réels comme scalaires. Dorénavant, un vecteur est quelque chose dans $\mathcal V$ lui-même. Les vecteurs seront représentés par des symboles en minuscules grasses.

La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.

Les objets géométriques comme $\mathbf a \wedge \mathbf b$ sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur $\mathbf a$ ou $\mathbf b$ est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté $B=\mathbf a \wedge \mathbf b$ est déterminé sans ambiguïté.

Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considérer un vecteur différent de zéro $\mathbf v$, à partir d'un point choisi comme origine, dans l'espace euclidien usuel, $\mathbb{R}^3$. L'ensemble de tous les vecteurs $\mathbf x \wedge \mathbf v = B$ , B désignant un bivecteur donné contenant $\mathbf v$, détermine une ligne l parallèle à $\mathbf v$. Puisque B est une aire orientée, l est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les vecteurs $\mathbf x \cdot \mathbf v = s$, s désignant un scalaire (réel) donné, détermine un plan P orthogonal à $\mathbf v$. De nouveau, P est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information, B et s, peuvent être établis indépendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le vecteur $\mathbf y$ qui satisfait le système {$\mathbf y \wedge \mathbf v = B$, $\mathbf y \cdot \mathbf v = s$} ? Géométriquement, la réponse est claire : c'est le vecteur qui part de l'origine et aboutit à l'intersection de l et P. Par l'algèbre géométrique, même la réponse algébrique est simple : $\mathbf y \mathbf v = s + B \Rightarrow \mathbf y = (s + B)/ \mathbf v = (s + B) \mathbf v$^-1, où l'inverse d'un vecteur différent de zéro est exprimé par $\mathbf z$^-1 $= \mathbf z /(\mathbf z \cdot \mathbf z )$.

Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur s + B en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dépend pas de l'origine choisie.

Tel qu'il est défini, le produit externe (ou produit extérieur, ou produit vectoriel) $\wedge$ engendre l'algèbre graduée (algèbre extérieure de Hermann Grassmann) $\wedge^n\mathcal{V}_n$ des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'éléments de degré k (k-vecteurs), où k va de 0 (scalaires) à n, la dimension de l'espace vectoriel original $\mathcal V$. Les multivecteurs sont représentés ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs ("0-vecteurs" et "1-vecteurs", respectivement).

La règle de contraction

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez $\langle x, x \rangle \ge 0$).

La règle de contraction peut être mise sous la forme :

$Q(\mathbf a) = \mathbf a^2 = \epsilon_a {\Vert \mathbf a \Vert}^2$

où $\Vert \mathbf a \Vert$ est le module du vecteur a et $\epsilon_a=0, \, \pm1$ est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via $\mathbb{R}_{1,3}\,$. Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés "vecteurs de lumière", les vecteurs à signature négative sont appelés "vecteurs d'espace" et les vecteurs à signature positive sont appelés "vecteurs de temps" (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise $\mathbb{R}_{3,1}$ à la place).

Produits intérieur et extérieur

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur $\mathbb{R}^3\,$) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique $\mathcal{G}_3\,$ comme le produit interne

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a})$

(qui est symétrique) et le produit externe

$\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a})$

avec

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -i(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})$

(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de degré deux). Le i ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue $i^2 = -1\,$.

Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.

Soient $\mathbf{a},\, \mathbf{A}_{\langle k \rangle}$ un vecteur et un multivecteur homogène de degré k. Leur produit interne est alors : $\mathbf a \cdot \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} + (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k+1} \mathbf A_{\langle k \rangle} \cdot \mathbf{a}$ et leur produit externe est

$\mathbf a \wedge \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} - (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k} \mathbf A_{\langle k \rangle} \wedge \mathbf{a}$

Applications de l'algèbre géométrique

Un exemple utile est $\mathbb{R}_{3, 1}$, et la façon dont il engendre $\mathcal{G}_{3, 1}$, un exemple d'algèbre géométrique appelé algèbre de l'espace-temps par Hestenes. Le champ tensoriel électromagnétique, dans ce contexte, devient juste un bivecteur $\mathbf{E} + i\mathbf{B}$ où l'unité imaginaire est l'élément de volume, donnant un exemple de réinterprétation géométrique de "tours" traditionnels.

Les accélérations dans cet espace métrique lorentzien ont la même expression $e^{\mathbf{\beta}}$ que la rotation dans l'espace euclidien, où $\mathbf{\beta}$ est bien sûr le bivecteur engendré par le temps et les directions d'espace impliquées, considérant dans le cas euclidien que c'est le bivecteur engendré par les deux directions d'espace, renforçant l'"analogie" de la quasi-identité.

Histoire

L'algèbre géométrique de David Hestenes et al. (1984) réinterprête les algèbres de Clifford sur les réels et son objectif est de revenir au nom et à l'interprétation que Clifford avait originellement prévus. L'ouvrage d'Emil Artin Geometric Algebra discute des algèbres associées avec chacune des nombreuses géométries, dont la géométrie affine, la géométrie projective, la géométrie symplectique et la géométrie orthogonale.

Références

• Baylis, W. E., ed., 1996. Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser.
• Baylis, W. E., 2002. Electrodynamics: A Modern Geometric Approach, 2nd ed. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
• Nicolas Bourbaki, 1980. Eléments de Mathématique. Algèbre. Chpt. 9, "Algèbres de Clifford". Paris: Hermann.
• Casanova, G., 1976. Algèbre vectorielle. Presses Universitaires de France. ISBN 978-2130343059
• Chris Doran and Anthony Lasenby, 2003. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge Univ. Press.
• David Hestenes and Sobczyk, G., 1987. Clifford Algebra to Geometric Calculus. Sprinver Verlag.
• Hestenes, D., 1999. New Foundations for Classical Mechanics, 2nd ed. Springer Verlag.
• Lasenby, J., Lasenby, A. N., and Doran, C. J. L., 2000, "A Unified Mathematical Language for Physics and Engineering in the 21st Century," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A 358: 1-18.

Voir aussi

Articles connexes

• Algèbre de Clifford
• Algèbre d'espace physique
• Spineur
• Quaternion

Liens externes

• http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/introduction/intro/intro.html
• http://www.science.uva.nl/ga/
• http://modelingnts.la.asu.edu/GC_R&D.html
• http://www.iancgbell.clara.net/maths/geoalg.htm, comprehensive introduction and reference for programmers
• A Geometric Algebra Primer, especially for computer scientists
• Geometric Algebra at PlanetMath
• Geometric Calculus International, Research, Software, Conferences