Integrale impropre

Intégrale impropre

En mathématiques, l'intégrale impropre désigne une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales. On note en général les intégrales impropres sans les distinguer des véritables intégrales ou intégrales définies, ainsi

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t$

est un exemple très classique d'intégrale impropre convergente, mais qui n'est pas définie au sens de l'intégration usuelle (que ce soit l'intégration des fonctions continues par morceaux, l'intégrale de Riemann, ou celle de Lebesgue).

Dans la pratique, on est amené à faire une étude de convergence d'intégrale impropre

• lorsqu'on intègre jusqu'à une borne infinie,
• lorsqu'on intègre jusqu'à une borne en laquelle la fonction n'admet pas de limite finie,
• lorsqu'on englobe un point de non définition dans l'intervalle d'intégration.

Dans chaque cas, on évaluera l'intégrale définie comme une fonction d'une des deux bornes et on prendra la limite de la fonction obtenue lorsque l'argument tend vers la valeur de la borne.

L'intégrale impropre partage un certain nombre de propriétés élémentaires avec l'intégrale définie. Elle ne permet pas d'écrire des résultats d'interversion limite-intégrale avec les théorèmes d'interversion de convergence uniforme. Par contre, il existe un théorème d'interversion limite-somme adapté aux intégrales impropres : c'est le théorème de convergence dominée.

Définition

Définition de la convergence d'une intégrale impropre

Soit $f : [a, b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Si la limite

$\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a,b[.

De la même manière, soit $f : ]a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Si la limite

$\lim_{x \rightarrow a^{+}} \int_x^b f(t)\mathrm{d}t$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur ]a,b].

Dans les deux cas on peut noter cette limite de la manière suivante :

$\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$

Si la limite existe et est finie on dit que $\int_a^b f(t) dt$ converge, sinon on dit qu'elle diverge.

Remarques :

• On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui sont continues seulement sur ]a,b[. On dit alors que

$\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$

converge lorsque pour un $c \in ]a,b[$ arbitraire, les intégrales

$\int_a^c f(t) \mathrm{d}t$ et $\int_c^b f(t) \mathrm{d}t$

convergent.

• Il existe une autre notation qui permet d'expliciter le caractère impropre de l'intégrale.

$\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t$

peut s'écrire

$\int_{a}^{\to b} f(t)\mathrm{d}t$

• Si f est en fait continue sur le segment [a,b], on obtient par ces définitions la même valeur que si on calculait l'intégrale définie de f.

Définition de l'intégrabilité d'une fonction

Soit I = (a,b) un intervalle quelconque de $\R$ et $f :I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux sur I. On dit que f est intégrable sur I si et seulement si

$\int_a^b |f(t)|\mathrm{d}t$

converge. On dit que l'intégrale de f sur I converge absolument.

Si l'intégrale de f converge absolument sur I, alors l'intégrale de f sur I converge. La réciproque est fausse. Une fonction dont l'intégrale converge tout en étant pas absolument convergente est appelée intégrale semi-convergente.

Autres propriétés

Intégration par parties

L'intégration par parties est une technique, parmi tant d'autres, permettant de calculer une intégrale définie. Pour les intégrales impropres, cette technique peut être également utilisée. Mais il faut faire attention à la définition des "objets obtenus". Si

$\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx$

existe, ce n'est pas forcément le cas pour

$\left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b}$ ou pour $\int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$

Donc si on cherche à calculer par exemple l'intégrale

$\int_{a}^{\to b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx$

on peut écrire :

$\int_{a}^{X} f(x) g'(x)\,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{X} - \int_{a}^{X} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$

avec a < X < b puis on effectue un passage à la limite en faisant $X \to b$. On observe alors que si les termes

$\left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{\to b}$ et $\int_{a}^{\to b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$

sont définis, l'intégration par parties est possible.

Linéarité des intégrales impropres

La linéarité des intégrales impropres est possible mais requiert la même condition que pour l'intégration par parties : les "objets obtenus" doivent être définis. Ainsi on peut écrire

$\int_{1}^{\infty} \left(\frac{1}{x^2}-\exp(-x)\right)\mathrm{d}x = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x - \int_{1}^{\infty} \exp(-x)\mathrm{d}x$

car les intégrales

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$ et $\int_{1}^{\infty} \exp(-x)\mathrm{d}x$

sont convergentes.

Mais par contre, l'intégrale

$\int_{1}^{\infty} \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x$

ne peut être scindée car les intégrales

$\int_{1}^{\infty} \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x$ et $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\mathrm{d}x$

sont divergentes.

Techniques pour établir la convergence d'une intégrale impropre

Par passage à la limite

Pour calculer une intégrale du type

$\int_{a}^{\to b} f(x)\,\mathrm dx$

on choisit X tel que a < X < b. On calcule ensuite l'intégrale $\int_{a}^{X} f(x)\,\mathrm dx$ comme une intégrale classique. Enfin on effectue un passage à la limite pour faire tendre X vers b, ce qui nous amène au résultat.

Par exemple, calculons

$\int_{0}^{\infty} \exp(-x)\,\mathrm dx$

Pour $0<X<\infty$ on a

$\int_{0}^{X} \exp(-x)\,\mathrm dx = \left[ -\exp(-x) \right]_{0}^{X} = 1 - \exp(-X)$

Par passage à la limite, on obtient

$\int_{0}^{\infty} \exp(-x)\,\mathrm dx = 1$

Majoration

Soit I un intervalle. On cherche à montrer que

$\int_I f(x)\,\mathrm dx$

est convergente. Si on arrive à trouver une fonction g telle que pour tout $x \in I$, $|f(x)|\leq g(x)$ et telle que

$\int_I g(x)\,\mathrm dx$

soit convergente, alors

$\int_I f(x)\,\mathrm dx$

est convergente.

Par exemple, prenons l'intégrale de Gauss

$\int_{0}^{\infty} \exp(-x^2)\,\mathrm dx$

Pour tout $x \geq 1$, $|\exp(-x^2)| \leq \exp(-x)$ et

$\int_{0}^{\infty} \exp(-x)\,\mathrm dx$

est convergente, donc

$\int_{0}^{\infty} \exp(-x^2)\,\mathrm dx$

est convergente.

Équivalence

Articles détaillés : Équivalent et Développement limité.

On considère les intégrales impropres

$\int_{a}^{\to b} f(x)\,\mathrm dx$ et $\int_{a}^{\to b} g(x)\,\mathrm dx$

Si f et g sont équivalentes au voisinage de b et de signe constant, alors les 2 intégrales ci-dessus sont de même nature.

Par exemple, prenons

$\int_{1}^{\infty} \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x$

Pour trouver l'équivalence de arcsin(1 / x) − 1 / x en $+\infty$, il faut effectuer un développement limité en 0 pour la variable 1 / x (ce qui équivaut à un développement limité en $+\infty$ pour la variable x). On a

$\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x} = \frac{1}{x}+\frac{1}{6x^3}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^3}\right) = \frac{1}{6x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)$

donc

$\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\quad \underset{+\infty}{\sim}\quad \frac{1}{6x^3}$

et tout est positif (de signe constant). Par un calcul de primitive, on obtient que

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{6x^3}\,\mathrm dx$

est convergente. Donc

$\int_{1}^{\infty} \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x$

est convergente.

Négligeabilité

Article détaillé : Notation de Landau.

On considère les intégrales impropres suivantes

$\int_{a}^{\to b} f(x)\,\mathrm dx$ et $\int_{a}^{\to b} g(x)\,\mathrm dx$

Si f(x) = o(g(x)) au voisinage de b et si

$\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm dx$

est convergente, alors $\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm dx$ est convergente.

Par exemple, prenons

$\int_{1}^{+\infty} t\exp(-t)\,\mathrm dt$

On a

$\exp(-t) = o\left(\frac{1}{t^3}\right)$

donc

$t\exp(-t) = o\left(\frac{1}{t^2}\right)$

Or

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2} \,\mathrm dt$

est convergente donc

$\int_{1}^{+\infty} t\exp(-t)\,\mathrm dt$

est convergente.

Exemples classiques

Intégrale de Riemann

L'intégrale

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^\alpha}\mathrm{d}x$

converge si et seulement si α < 1.

L'intégrale

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\mathrm{d}x$

converge si et seulement si α > 1.

Intégrale de Bertrand

L'intégrale $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha \log(x)^\beta}\mathrm{d}x$ converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Intégrale de Dirichlet

Article détaillé : Intégrale de Dirichlet.

L'intégrale

$\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \mathrm{d} t$

est semi-convergente.

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