Interpolation Linéaire

Interpolation linéaire

Les points rouges correspondent aux points (x_k,y_k), et la courbe bleue représente la fonction d'interpolation, composée de segments de droite.

L'interpolation linéaire est certainement la méthode la plus simple d'interpolation. Par exemple, si nous souhaitons déterminer f(2,5) alors que l'on connait les valeurs de f(2) = 0,9093 et f(3) = 0,1411, cette méthode consiste à prendre la moyenne des 2 valeurs sachant que 2,5 est le milieu des 2 points. On obtient par conséquent $f(2,5)=\frac{0,9093+0,1411}{2}=0,5252$.

Plus généralement, la droite d'interpolation aura pour équation (trois formulations équivalentes) :

$f(x) = \frac{y_a-y_b}{x_a-x_b} x + \frac{x_a.y_b-x_b.y_a}{x_a-x_b}$

ou bien (formule de Taylor-Young au premier ordre) :

$f(x) = y_a + (x-x_a) \frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$

ou bien :

$f(x) = \frac{x_b-x}{x_b-x_a} y_a + \frac{x-x_a}{x_b-x_a} y_b$

Cette dernière formule correspond à la moyenne pondérée.

Cette méthode est rapide et aisée mais elle manque de précision. Un autre inconvénient est que la fonction n'est pas dérivable au point x_k.

L'erreur d'estimation montre que l'interpolation linéaire n'est pas très précise. Si la fonction g que l'on souhaite interpoler est deux fois continuement dérivable et si $x \in [x_a;x_b]$ alors l'erreur d'interpolation est donnée par :

$|f(x)-g(x)| \le C(x_b-x_a)^2 \quad$ où $\quad C = \frac18 \max_{y\in[x_a,x_b]} |g''(y)|.$

En d'autres termes, l'erreur est proportionnelle au carré de la distance entre les nœuds. D'autres méthodes d'interpolation permettent d'obtenir des fonctions d'interpolation plus lisses, par exemple, l'interpolation polynomiale.

L'interpolation linéaire peut être utilisée pour fournir une méthode de calcul numérique d'intégrales : la méthode des trapèzes.

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