Intégrale paramétrique

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont par exemple la transformée de Fourier.

Définition formelle

Soient T un ensemble, $\scriptstyle(\Omega,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et

$f:T\times\Omega\to\R^n$

une application telle que pour tout élément t de T, l'application

$\Omega\to\R^n,~\omega\mapsto f(t,\omega)$ soit intégrable.

Alors l'application F définie par :

$F:T\to\R^n,\quad F(t)=\int f(t,\omega)~\mathrm d\mu(\omega)$

est appelée une intégrale paramétrique.

Le plus souvent, dans les applications :

• l'entier naturel n est égal à 1 ;
• T est un ouvert de ℝ ;
• $\scriptstyle(\Omega,\mathcal A,\mu)$ est une partie d'un espace euclidien, implicitement munie des tribu et mesure de Lebesgue ou de Borel.
• les fonctions sont continues et les intégrales sont considérées au sens de Riemann, mais la théorie générale de Lebesgue s'applique à ce cas particulier : sur un segment, une fonction bornée est Riemann-intégrable si et seulement si elle est continue presque partout, et toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable.

Exemples

Transformée de Fourier

Soit g une fonction intégrable de ℝⁿ dans ℂ, la transformée de Fourier de g est la fonction de ℝⁿ dans ℂ définie par :

$\widehat g(t)=\int_{\R^n}\exp[-2i\pi(t|\omega)]g(\omega)~\mathrm d\omega,$

où $\scriptstyle(\cdot|\cdot)$ désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler

La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel x strictement positif, par :

$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}\exp(-t)~\mathrm dt.$

Potentiel du champ de gravitation

Le potentiel du champ de gravitation V(x) créé par un corps matériel M de densité variable ρ en un point x de ℝ³ extérieur à M est donné par :

$V(x)=-G\int_M{\rho(y)\over\|x-y\|_2}~\mathrm dy,$

où G désigne la constante de gravitation et $\scriptstyle\|\cdot\|_2$ la norme euclidienne.

Limite

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est une partie de ℝ, que x est un réel adhérent à T, et que :

• $\forall\omega\in\Omega,~\lim_{t\to x}f(t,\omega)=\varphi(\omega)$ ;
• il existe une application intégrable $\scriptstyle g:\Omega\to\R$ telle que

$\forall t\in T,\forall\omega\in\Omega,\quad\|f(t,\omega)\|\le g(\omega)$.

Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que φ est intégrable et que

$\lim_{t\to x}F(t)=\int\varphi(\omega)~\mathrm d\mu(\omega),$

soit encore :

$\lim_{t\to x}\left(\int_\Omega f(t,\omega)~\mathrm d\mu(\omega)\right)=\int\left(\lim_{t\to x}f(t,\omega)\right)~\mathrm d\mu(\omega).$

Remarques.

• La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout $\scriptstyle\omega\in\Omega$, sous réserve que l'espace mesuré $\scriptstyle(\Omega,\mathcal A,\mu)$ soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
• La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il une fonction intégrable g telle que pour chaque élément t de T appartenant à un certain voisinage de x on ait : $\scriptstyle\|f(t,\cdot)\|\le g$ presque partout.
• Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
• L'énoncé ci-dessus, même ainsi affaibli, reste vrai quand T est une partie d'un espace métrique autre que ℝ.

Démonstration

Soit $\scriptstyle(t_n)_{n\in\N}$ une suite dans T qui converge vers x. La suite $\scriptstyle(f(t_n,\cdot))_{n\in\N}$ de fonctions intégrables converge simplement vers φ et on a par la seconde hypothèse :

$\forall n\in\N,\forall\omega\in\Omega,\quad\|f(t_n,\omega)\|\le g(\omega).$

Le théorème de convergence dominée entraîne alors l'intégrabilité de φ et les relations :

$\lim_{n\to\infty}F(t_n)=\lim_{n\to\infty}\int f(t_n,\omega)\mathrm d\mu(\omega)=\int\varphi(\omega)~\mathrm d\mu(\omega).$

Continuité

Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que x appartient à T (donc pour tout $\scriptstyle\omega\in\Omega$, $\scriptstyle f(\cdot,\omega)$ est continue au point x et φ(ω) = f(x,ω)), on en déduit que F est continue en x.

Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur $\scriptstyle T\times\Omega$ avec T partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et Ω fermé borné d'un espace euclidien, alors F est définie et continue sur T.

Démonstration

Pour tout élément t de T, $\scriptstyle f(t,\cdot)$ est continue sur le compact Ω, donc intégrable sur Ω pour la mesure de Lebesgue, si bien que F est définie sur T.

Soit $\scriptstyle x\in T$. Pour tout $\scriptstyle\omega\in\Omega$, $\scriptstyle f(\cdot,\omega)$ est continue sur T. De plus, si K est un voisinage compact de x dans T alors, par continuité de f, il existe une constante M telle que :

$\forall t\in K,\forall\omega\in\Omega,~\|f(t,\omega)\|\le M.$

En prenant g = M dans la proposition précédente, ceci prouve que F est continue en x.

Dérivabilité

La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz ).

Étude locale

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est un intervalle de ℝ et que :

• pour tout $\scriptstyle\omega\in\Omega$, $\scriptstyle f(\cdot,\omega)$ est dérivable sur T ;
• il existe une application intégrable $\scriptstyle g:\Omega\to\R$ telle que

$\forall t\in T,\quad\left\|{\partial f\over\partial t}(t,\cdot)\right\|\le g$.

Alors, pour tout $\scriptstyle x\in T$ l'intégrale paramétrique F est dérivable au point x, l'application $\scriptstyle{\partial f\over\partial t}(x,\cdot)$ est intégrable, et :

$F'(x)=\int{\partial f\over\partial t}(x,\omega)~\mathrm d\mu(\omega).$

Démonstration

Fixons $\scriptstyle x\in T$ et posons, pour tout $\scriptstyle \omega\in\Omega$ et tout réel h non nul tel que $\scriptstyle x+h\in T$ :

$k(h,\omega)=\frac{f(x+h,\omega)-f(x,\omega)}h.$

On a alors :

• $\lim_{h\to0}k(h,\omega)={\partial f\over\partial t}(x,\omega)$ ;
• $\|k(h,\omega)\|\le g(\omega)$ (d'après l'inégalité des accroissements finis).

L'énoncé de la section « Limite » permet de conclure.

Étude globale

Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » (f est continue sur $\scriptstyle T\times\Omega$ avec T partie localement compacte de ℝ et Ω fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que $\scriptstyle{\partial f\over\partial t}$ est définie et continue sur $\scriptstyle T\times\Omega$, alors F est de classe C¹ sur T et pour tout $\scriptstyle x\in T$, on a :

$F'(x)=\int{\partial f\over\partial t}(x,\omega)~\mathrm d\mu(\omega).$

Démonstration

Soit K un compact de T. Par continuité de $\scriptstyle{\partial f\over\partial t}$ sur le compact $\scriptstyle T\times\Omega$, il existe une constante M telle que :

$\forall x\in K,\forall\omega\in\Omega,~\left\|{\partial f\over\partial t}(x,\omega)\right\|\le M.$

En prenant g = M dans la proposition précédente, ceci prouve que F est dérivable (avec la formule annoncée) sur tout compact K de T, donc sur T.

La continuité de $\scriptstyle F'$ résulte alors de l'énoncé « Continuité globale ».

Forme générale unidimensionnelle

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit $\scriptstyle f:\R^2\to\R^n$ telle que f et $\scriptstyle{\partial f\over\partial x}$ soient continues sur ℝ², et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Si F est l'« intégrale paramétrique » (généralisée) définie sur ℝ par :

$F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,y)~\mathrm dy,$

alors F est dérivable et

$F'(x)=f(x, b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}{\partial f\over \partial x}(x,y)~\mathrm dy.$

Remarque : pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(x) = a et b(x) = x.

Démonstration

Soit H l'application de ℝ³ dans ℝ définie par :

$H(u,v,x)=\int_u^v f(x,y)~\mathrm dy.$

Du théorème fondamental de l'analyse, on déduit :

${\partial H\over\partial v}(u,v,x)=f(x,v)\quad\text{et}\quad{\partial H\over\partial u}(u,v,x)=-f(x,u),$

et en appliquant la règle de Leibniz, on a :

${\partial H\over\partial x}(u,v,x)=\int_u^v{\partial f\over\partial x}(x,y)~\mathrm dy.$

Comme F(x) = H(a(x),b(x),x), le théorème de dérivation des fonctions composées donne :

$F'(x)={\partial H\over\partial v}(a(x),b(x),x)b'(x)+{\partial H\over\partial u}(a(x),b(x),x)a'(x)+{\partial H\over\partial x}(a(x),b(x),x).$

En remplaçant les trois dérivées partielles de H par leurs valeurs, on trouve l'identité annoncée.

Théorème de Fubini

Soient par exemple X une partie de ℝ^p, Y une partie de ℝ^q, et

$f:X\times Y\to\R^n$

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction $\scriptstyle f(x,\cdot)$ est intégrable pour presque tout x de X, l'intégrale paramétrique F définie par

$F(x)=\int_Yf(x,y)~\mathrm dy$

est intégrable sur X, et on a :

$\int_{X\times Y}f=\int_XF$

(et même chose en intervertissant les rôles de x et y).

Exemples de calcul

Calculs élémentaires

• On peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que pour tous réels a et b strictement positifs :

$\int_0^{+\infty}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}\mathrm dx=\ln{b\over a}$.

Démonstration

Fixons a > 0, et soient F et g définies sur ]0,+∞[ par :

$F(b)=\int_0^{+\infty}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}\mathrm dx,\quad g(b)=\ln{b\over a}$.

On a clairement : F(a) = g(a) = 0. Il suffit donc de montrer que leurs dérivées sont égales pour tout b > 0 pour vérifier l'identité.

En appliquant la règle de Leibniz pour F, on a :

$F'(b)=\int_0^{+\infty}{\partial\over\partial b}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}~\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\exp(-bx)~\mathrm dx={1\over b}=g'(b)$.

• Soient X = [0,2], Y = [1,3] et f définie sur $\scriptstyle X\times Y$ par f(x,y) = x² + y. Elle est intégrable sur $\scriptstyle X\times Y$ puisqu'elle est continue. Par le théorème de Fubini, son intégrale se calcule donc de deux façons :

$\int_{X\times Y}f=\int_0^2\left(\int_1^3(x^2+y)~\mathrm dy\right)~\mathrm dx=\int_0^2(2x^2+4)~\mathrm dx={40\over 3}$

et

$\int_{X\times Y}f=\int_1^3\left(\int_0^2(x^2+y)~\mathrm dx\right)~\mathrm dy=\int_1^3\left({8\over 3}+2y\right)~\mathrm dy={40\over 3}$.

Intégrale de Gauss

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

$\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}~\mathrm dx=\sqrt\pi.$

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.

Démonstration

Considérons les deux fonctions définies sur ℝ par :

$F(t)=\left(\int_0^t\mathrm e^{-u^2}~\mathrm du\right)^2\quad\text{et}\quad G(t)=\int_0^1{{\mathrm e^{-t^2(1+x^2)}}\over{1+x^2}}~\mathrm dx.$

Leurs dérivées sont données pour F par composition avec le théorème fondamental de l'analyse et pour G par la règle de Leibniz :

$F'(t)=2\mathrm e^{-t^2}\int_0^t\mathrm e^{-u^2}~\mathrm du\quad\text{et}\quad G'(t)=-2\int_0^t\mathrm e^{-t^2(1+x^2)}~t\mathrm dx.$

Par le changement de variable u = tx, elles sont opposées l'une de l'autre, donc pour tout réel t,

$F(t)+G(t)=F(0)+G(0)=0+\int_0^1\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\left[\arctan\right]_0^1=\frac\pi4.$

Or (par majoration directe ou d'après la section « Limite » ci-dessus)

$\lim_{+\infty}G=0,$

d'où la conclusion :

$\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}~\mathrm dx=2\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}~\mathrm dx=2\lim_{+\infty}\sqrt F=2\sqrt{\frac\pi4}=\sqrt\pi.$

Références

• Jean Mawhin, Analyse, fondements, techniques, évolution, 2^e édition, De Boeck Université, (ISBN 978-2804124892)
• (en) Differentiation under the integral sign de PlanetMath