Intérieur (topologie)

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En mathématiques, l'intérieur est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique. On définit aussi et de façon différente l'intérieur d'une variété à bord.

Soit E un espace topologique et A une partie de X. On appelle intérieur de A le plus grand ouvert de X inclus dans A, c'est la réunion de tous les ouverts inclus dans A. L'intérieur se note soit à l'aide d'un petit cercle suscrit, soit par une notation préfixe avec l'abréviation int :

$\stackrel{\ \circ}{A} = \mathrm{int}(A)$

Topologie générale

Point intérieur

Soit X un espace topologique, A une partie de X et a un élément de X. On dit que a est un point intérieur à A ssi A est un voisinage de a.

On remarque que les points intérieurs à A sont dans A. De plus l'intérieur de A est égal à l'ensemble des points intérieurs à A.

Un point non intérieur à A est adhérent à $X\setminus A$.

Propriétés

• Une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur ;
• idempotence : l'intérieur de l'intérieur est égal à l'intérieur ;
• croissance pour l'inclusion : si A est une sous-partie de B alors int(A) est une sous-partie de int(B).
• L'intérieur d'une intersection est égale à l'intersection des intérieurs.
• le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire.
• Une union d'intérieurs est incluse dans l'intérieur de l'union mais l'inclusion inverse n'est pas toujours vraie.

Exemples

• Dans n'importe quel espace topologique, l'intérieur de l'ensemble vide est l'ensemble vide.
• Soit X un espace topologique, l'intérieur de X est égal à X.
• Dans l'espace euclidien R des nombres réels muni de la topologie usuelle :
  • l'intérieur du segment [0, 1] est l'intervalle ouvert ]0, 1[ ;
  • l'intérieur de l'ensemble Q des nombres rationnels est vide.
• Dans l'espace des nombres complexes, alors l'intérieur de l'ensemble {z ∊ C / |z| ≥ 1} est l'ensemble {z ∊ C / |z| > 1}.
• Dans tout espace euclidien, l'intérieur d'un ensemble fini est l'ensemble vide.
• Dans une espace discret où toute partie est ouverte, toute partie est son propre intérieur.
• Dans un espace muni de la topologie grossière où les seuls ouverts sont l'espace total et l'ensemble vide, toute partie stricte est d'intérieur vide.

L'intérieur d'une partie dépend de la topologie considérée. Dans le cas de R :

• muni de la topologie usuelle, int([0, 1]) = ]0,1[.
• muni de la topologie discrète, int([0, 1]) = [0, 1].
• muni de la topologie grossière int([0, 1]) est l'ensemble vide.

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• « Intérieur (topologie) », sur Wikiversity (communauté pédagogique libre)

• Adhérence
• Point adhérent
• Frontière (topologie)
• Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe