Inverse De La Matrice Du Tenseur Métrique

Inverse de la matrice du tenseur métrique

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Étant donné un système de coordonnées, la matrice du tenseur métrique en composantes contravariantes g^ij est la matrice inverse de la matrice du tenseur métrique en composantes covariantes :

$g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k$.

Autrement dit, le tenseur métrique est son propre inverse.

Démonstration

On a défini (cf. transformation contraco) le tenseur métrique inverse (g ^{− 1})^ij comme l'inverse de g_ij. En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante

$\bigl(g^{-1}\bigr)_{ij} = g_{ik} g_{jl} \bigl(g^{-1}\bigr)^{kl} = g_{ik} g_{jl} \bigl(g^{-1}\bigr)^{lk} = g_{ik} \delta^k_j = g_{ij}.$

∎Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.

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