Involution (mathematiques)

Involution (mathématiques)

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En mathématiques, une involution est une opération qui est son propre inverse.

Définition formelle

Soit M un monoïde, dont la loi de composition interne est notée $\star$ et l'élément neutre noté e. On dit que $a \in M$ est une involution si et seulement si

$a \star a =e$

L'un des cas fréquents est une involution dans un anneau par rapport à la deuxième loi.

Application involutive

L'un des cas fréquent d'involution porte sur les applications. Dans ce cas si f est une application d'un ensemble E dans lui-même, alors on dit que f est une involution ou une application involutive si et seulement si

$f \circ f = \mathrm{id}_E$

où id_E est l'application identité sur E.

On "retombe" sur un élément après lui avoir appliqué deux fois de suite notre fonction. On a donc

$\forall x \in E,\ f(f(x))=x$

Propriétés

Une involution admet un inverse : elle-même. Les applications involutives sont des bijections.

Si $\ f$ est une involution sur E, et si $\ g$ est une bijection de E vers F, de fonction inverse $\ g^{-1}$, alors $g \circ f \circ g^{-1}$ est une involution sur F.

$\ f$ étant une involution sur E, si $\ g$ est une bijection sur E telle que $f \circ g \; = \; g^{-1} \circ f \;$ , alors $f \circ g \;$ est une involution sur E.

Exemples

• Pour tout $a \in \R$, la fonction $f(x)= \frac{1}{x-a}+a \; ,$ définie sur $\R \mathcal{n} \{a\} \; ,$ est une involution.
• Pour tout $a \in \R$, la fonction $f(x)= a-x \; ,$ définie sur $\R \; ,$ est une involution.
• L'application identité est involutive.
• Les symétries du plan constituent un exemple d'applications involutives.
• En arithmétique, la multiplication par -1 est aussi une involution.
• Une permutation est une involution si et seulement si elle se décompose en cycles disjoints de longueurs inférieures ou égales à 2.
• La conjugaison des nombres complexes est un automorphisme involutif.

Voir aussi

• injection
• surjection
• nilpotent
• endomorphisme
• automorphisme

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