Inégalité de Huygens

Inégalité de Huygens sur le cercle trigonométrique

L'inégalité de Huygens est un résultat mathématique établissant que, sur l'intervalle $\left[{0};\frac{\pi}{2}\right[$ de $\mathbb{R}$, l'inégalité suivante est vérifiée : $x \leq \frac{2}{3} \cdot \sin x + \frac{1}{3} \cdot \tan x$.

Cette inégalité signifie que, dans le dessin ci-contre, la longueur de l'arc BC est inférieure à la moyenne pondérée de la longueur CD affectée du coefficient 2 et de la longueur BE affectée du coefficient 1, ou , plus simplement, que la longueur de l'arc BC est plus petite que celle du segment [BG].

Démonstration par l'utilisation de la dérivée

Soit f fonction qui à tout x de $\left[{0};\frac{\pi}{2}\right[$, associe $f(x) = 2\times\sin{x} + \tan{x} - 3x$.
Cette fonction est dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables. La fonction dérivée de f est la fonction f' qui à tout x de l'intervalle considéré associe :

$f'(x)=\frac{2\cos^{3}x-3\cos^{2}x+1}{\cos^{2}{x}}=\frac{(\cos x -1)^{2}(2\cos{x}+1)}{\cos^{2}{x}}$.

Sur l'intervalle considéré, les inégalités suivantes sont vérifiées : $\forall x\, \cos^{2}x > 0$ et $\forall x\, (\cos x -1)^{2}(2\cos{x}+1)\geq 0$.

Donc, $\forall x \in \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, f'(x)\geq 0$ et la fonction f est croissante sur l'intervalle considéré.

On remarque l'égalité : f(0) = 0 par conséquent : $\forall x \in \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, f(x) \geq 0 \Leftrightarrow \forall x \in \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, 2\sin x + \tan x \geq 3x$

Note historique

Cette inégalité, associée à cette minoration^[1]:

$\dfrac{8\sin(x)-\sin(2x)}{6}\le x$

fournit un meilleur encadrement de x que le simple encadrement

$\sin(x) \le x\le \tan x$

Appliqué à x = π / n, cet encadrement sert à améliorer la méthode d'Archimède pour calculer Pi. En fait, Snell, dans sa Cyclometria (1621) énonçait déjà cette formule, mais sans la démontrer rigoureusement^[2]. Huygens dans son ouvrage de Circuli dimensione (1654) se propose de démontrer ces inégalités et d'en présenter d'autres, utiles à la quadrature du cercle approchée^[3]. Ce problème ancien, déjà abordé par Nicolas de Cuse dans son De mathematica perfectione (1512), avait fait l'objet plus récemment d'un travail de Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli (1647).

La démonstration de Huygens diffère de celle indiquée ci-dessus : elle est géométrique. Bien que Huygens dans des travaux ultérieurs sur la cycloïde détermine les tangentes de diverses courbes, il restera toujours prudent vis-à-vis du calculus.

La démonstration que l'on peut tirer du de Circuli^[4], est assez astucieuse et se réfère, d'une part à une inégalité d'aires, itérée, d'autre part à des propriétés de proportionnalités entre segments.

Il existe de nos jours des dizaines d'inégalités de ce type^[5] démontrées maintenant avec des outils d'analyse (Développement limité, règle de l'Hôpital sur la monotonie,...)

Notes et références

1. ↑ Christian Huygens, De circuli magnitudine inventa, Théorème VII Proposition VII, Oeuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656 / publ. par la Société hollandaise des sciences, p 132
2. ↑ Cf. Œuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656, Société hollandaise des sciences
3. ↑ Huygens craint en particulier de se faire devancer par Marcus Marci (Œuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656 / publ. par la Société hollandaise des sciences, p. 98)
4. ↑ Christian Huygens, De circuli magnitudine inventa, théorèmes IV, VI, VIII et IX
5. ↑ Voir par exemple Some new inequalities of the Huygens type, Ling Zhu, 2009,ou encore The natural approach of wilker-cusa-huygens inequalities, Cristinel Mortici, 2010

Voir aussi

Articles connexes

• pi
• Histoire du calcul infinitésimal
• Quadrature du cercle

Bibliographie

• Oeuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656 / publ. par la Société hollandaise des sciences - 1888/1950- Bibliothèque nationale de France, 4-R-788 (12)