Inégalité de Korn

Énoncé

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ un ouvert borné dont la frontière est suffisamment régulière (par exemple $\mathcal{C}^1$ par morceau). Notons ε le linéarisé du tenseur des déformations défini pour tout $v\in V=\left(H^1_0(\Omega)\right)^n$ par

$\varepsilon(v)=\frac{1}{2}\left(\nabla v + (\nabla v)^T \right)$.

Alors il existe c > 0 telle que

$\forall v\in\left(H^1_0(\Omega)\right)^n\ \ ,\ \ \int_\Omega\left(\varepsilon(v):\varepsilon(v) + \|v\|^2\right)\geq c \|v\|_{V}$

En notation indicielle avec $\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_j v_i+\partial_i v_j)$ cette inéquation s'écrit

$\int_\Omega\left(\sum_{i,j}\varepsilon_{ij}^2 + \sum_i v^2\right)\geq c \int_\Omega\left(\sum_{i,j}(\partial_i v_i)^2 + \sum_i v^2\right)$.

Bibliographie

• Duvaut G. Lions J.L., Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod (1972)