Johann Friedrich Pfaff

Johann Friedrich Pfaff

Johann Friedrich Pfaff (né à Stuttgart le 22 décembre 1765, † le 21 avril 1825 à Halle, en Saxe-Anhalt) est un mathématicien allemand qui étudia les changements de variables dans les équations aux dérivées partielles.

Biographie

Pfaff fréquenta l'école ducale Hohe Karlsschule de Stuttgart de 1774 à 1785. Sur recommandation de Charles II de Wurtemberg, fondateur de l'école, Pfaff put aller étudier les mathématiques (avec le Pr. Abraham Kästner) et la physique (avec le Pr. Lichtenberg) à l'université de Göttingen à partir de 1785 . Il étudia en 1787 l'astronomie à Berlin sous la direction de Bode et termina sa formation à Vienne. En 1788, Lichtenberg le recommanda pour le poste de professeur de mathématiques à l'université d'Helmstedt.

Il devait revenir à Pfaff de découvrir le génie du jeune Carl Friedrich Gauss : il fut son directeur de thèse à partir de 1799 et appuya sa candidature « in absentia » auprès de l'université d'Helmstedt. Après la fermeture de l'université en 1810 à la suite de troubles anti-français, Pfaff rejoignit l'université de Halle^[1] qui venait juste de rouvrir ses portes, et obtint en 1812 la direction de l'observatoire de cette ville. Pfaff eut un autre étudiant fameux en la personne d'August Ferdinand Möbius.

Œuvres

Pfaff publia en 1788 à Helmstedt une nouvelle méthode pour le calcul des différentielles. Cette même année, il inaugura également une série d'articles sur la sommation des séries, et en 1793, poursuivant les travaux d'Euler, le développement en série d'intégrales de produits de fonctions puissance.

C'est en 1815 qu'il publia son article fondamental Methodus generalis æquationes differentiarum particularum ... complete integrandi qui traite du problème de Pfaff, c'est-à-dire de l'intégration d'équations aux dérivées partielles de la forme ω = 0 où

$\qquad \omega = \sum_{k=1}^n f_k (x_1, \ldots, x_n) \,\mathrm{d} x_k.$

On appelle aujourd'hui une forme différentielle ω de ce type Forme de Pfaff de variables $x_1, \ldots, x_n$.

La méthode de Pfaff fut généralisée en 1827 par Jacobi. Le terme « pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley pour désigner un polynôme lié à ces recherches, et dont le déterminant d'une matrice antisymétrique est le carré.

Notes

1. ↑ Halle, comme Helmstedt, appartenaient à l'époque au Royaume de Westphalie fondé par Napoléon. Les manuscrits de Pfaff sont d'ailleurs aujourd'hui en dépôt à la bibliothèque universitaire de Halle.