Lacet (mathématiques)

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En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Définitions

Si X est un espace topologique, on appelle lacet sur X toute application continue $\gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X$ telle que γ(0) = γ(1).

Autres définitions :

• Un lacet sur X est un chemin sur X dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
• Un lacet sur X est une application continue de S¹ vers X (où S¹ dénote le cercle unité $\{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}$).

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique, soit que a=b, soit que {a,b} = {0,1}. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe C^k (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe

Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas $X=\mathbb{C}$, on peut définir l'indice I(γ,z₀) d'un lacet γ par rapport à un point $z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1])$ : il correspond au nombre (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

$\operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\mathrm dz}{z-z_0}$

Voir aussi

• Homotopie
• Connexité par arcs
• Connexité simple
• Groupe fondamental

• Analyse complexe | Théorème intégral de Cauchy | Théorème des résidus