Analyse harmonique

Analyse harmonique (mathématiques)

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L'analyse harmonique, ou analyse de Fourier, est la branche des mathématiques qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de série de Fourier et de transformée de Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physiques sous le nom d'analyse spectrale, et connaît des applications récentes notamment en traitement des signaux, mécanique quantique, neurosciences, stratigraphie... Des analyseurs harmoniques mécaniques ont vu le jour vers 1920 et permettaient d'obtenir graphiquement jusqu'au 150e coefficient d'un développement de Fourier.

L'analyse harmonique, historiquement liée au développement de la théorie des séries de Fourier, a reçu un ensemble de généralisations modernes, notamment grâce aux travaux de l'école russe de Gelfand, qui la situe dans un contexte très général et abstrait: par exemple l'analyse harmonique sur les groupes de Lie.

Séries et transformées de Fourier

Les séries de Fourier visent à décomposer une fonction périodique comme une « somme infinie de fonctions trigonométriques » de fréquences multiples d'une fréquence fondamentale. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du « contenu en fréquences », appelé spectre, de la fonction. Puis, suivant les hypothèses faites sur la fonction et le cadre d'analyse choisi, on peut disposer de théorèmes permettant de recomposer f.

Un bon cadre d'étude pour les séries de Fourier est celui des espaces de Hilbert, ce qui fournit un lien entre analyse harmonique et analyse fonctionnelle.

La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques, et permet de leur associer également un spectre en fréquences. On cherche alors à décomposer une fonction quelconque en « somme infinie de fonctions trigonométriques » de toutes fréquences. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale.

La transformée de Fourier classique sur Rⁿ est encore un domaine de recherche actif, en particulier la transformation de Fourier sur des objets plus généraux comme les distributions tempérées. Par exemple, si nous imposons des contraintes à une distribution f, nous pouvons les traduire sur sa transformée de Fourier. Le théorème de Paley-Wiener en est un exemple. Ce théorème a pour conséquence immédiate que si f est une distribution non nulle à support compact, alors sa transformée de Fourier n'est jamais à support compact. C'est une forme élémentaire des relations d'incertitudes de Heisenberg.

Analyse harmonique abstraite

Articles détaillés : Analyse harmonique sur un groupe abélien fini et Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini.

L'une des branches les plus modernes de l'analyse harmonique, initiée au milieu du XX^e siècle, est l'analyse sur les groupes topologiques. L'idée est que la transformation de Fourier peut être généralisée en une transformation des fonctions définies sur des groupes localement compacts.

La théorie pour les groupes abéliens localement compacts est la dualité de Pontryagin. L'analyse harmonique étudie les propriétés de cette dualité et essaie de les étendre à d'autres structures, par exemple les groupes de Lie non-abéliens. En général, pour les groupes non-abélien localement compacts, l'analyse harmonique est liée à la théorie des représentations des groupes unitaires. Pour les groupes compacts, le théorème de Peter-Weyl explique comment obtenir les harmoniques en choisissant une représentation irréductible dans chaque classe d'équivalence. Ce choix des harmoniques permet de profiter de certaines propriétés utiles de la transformation de Fourier qui transforme le produit de convolution en produit usuel et révèle la structure de groupe sous-jacente.

Si le groupe n'est ni abélien ni compact, aucune théorie satisfaisante, c'est-à-dire équivalent au moins au théorème de Plancherel, n'est à présent connue. Mais certains cas particuliers ont été étudiés, comme par exemple le groupe spécial linéaire SL_n. Dans ce cas, les représentations de dimension infinie jouent un rôle crucial.

Annexes

Article connexe

• Analyse spectrale pour trouver le pendant en physique
• Traitement du signal
• Modèles de régression multiple postulés et non postulés

Liens externes

• (fr) Introduction à l'analyse de Fourier, cours sur le site du Laboratoire de traitement de signaux de l'École polytechnique fédérale de Lausanne
• (en) Harmonic Analysis, définition sur le site MathWorld
• (es) Analyse de Fourier sur le site de l'université du Pays basque]

Bibliographie

• (fr) Claude Gasquet et Patrick Witomski, Analyse de Fourier et applications : Filtrage, calcul numérique et ondelettes, Dunod, 2000 (ISBN 2100050184) 
• (fr) Claude Gasquet et Patrick Witomski, Analyse de Fourier et applications, Masson, 2004 (ISBN 2-225-82018-X) 
• (en) Elias M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton University Press, 1993 (ISBN 0-691-03216-5) 
• (en) Thomas H. Wolff, Lectures on Harmonic Analysis, American Mathematical Society, 2003 (ISBN 0-821-83449-5) 
• (en) Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 0-521-83829-0) 

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