Limite projective

En mathématiques, formalisée dans le langage des catégories, la limite projective est une généralisation du produit. Cette notion est duale de celle de limite inductive.

Limite projective d'ensembles

Soient $(I,\leq)$ un ensemble ordonné^[1], $(E_i)_{i\in I}$ une famille d'ensembles indexée par I, et pour chaque couple $(i,j)\in I^2$ tel que $i\leq j$, une application $f_i^j : E_j\to E_i$. On suppose que ces applications vérifient les deux propriétés suivantes :

• $\forall i\in I, f_i^i = Id_ {E_i}$
• $\forall (i,j,k)\in I^3,\ i\leq j\leq k \Rightarrow f_i^j\circ f_j^k = f_i^k$.

Une telle structure est appelée système projectif d'ensembles. On appelle limite projective de ce système l'ensemble

$\varprojlim E_i = \Big\{(a_i) \in \prod_{i\in I}E_i \;\Big|\; \forall i \leq j, \,\, a_i = f_i^j(a_j) \Big\}$

Système projectif

La définition précédente d'un système projectif d'ensembles se généralise de la catégorie des ensembles à n'importe quelle catégorie C : soit $(I,\leq)$ un ensemble ordonné. On appelle système projectif d'objets de C indexé par I la donnée d'une famille $(E_i)_{i\in I}$ d'objets de C et de morphismes $f_i^j : E_j\to E_i$ pour chaque couple d'indices $(i,j)\in I^2$ tel que $i\leq j$, le tout vérifiant :

• $\forall i\in I, f_i^i = Id_ {E_i}$
• $\forall (i,j,k)\in I^3,\ i\leq j\leq k \Rightarrow f_i^j\circ f_j^k = f_i^k$.

Propriété universelle de la limite projective

Soit (X_i, f_ij) un système projectif dans une catégorie C. La limite projective X, lorsqu'elle existe, est un objet de la catégorie C muni de flèches π_i de X à valeurs dans X_i vérifiant les relations de compatibilité π_i = f_ij O π_j pour tous i ≤ j. De plus, la donnée (X, π_i) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψ_i vérifiant des compatibilités analogues, il existe une unique flèche u : Y → X telle que le diagramme :

soit commutatif pour tous i ≤ j. La limite projective est notée : $X = \varprojlim X_i$. On parlera de limite projective des X_i suivant les morphismes f_ij, ou par abus de langage, de limite suivant I, voire tout simplement de limite projective des X_i.

Lorsqu'elle existe, la limite projective est unique, à isomorphisme (unique) près.

Autrement dit, la limite projective représente le foncteur qui à un objet Y de la catégorie C associe l'ensemble $\varprojlim Hom(X,X_i)$.

Exemples

• Soient E un ensemble et $(E_n)_{n\in\mathbb N}$ une famille décroissante de sous-ensembles de E. pour $p\leq q$, on considère l'injection canonique $f_p^q : E_q\to E_p$. cela constitue un système projectif.

$\dots\to E_{n+1}\to E_n\to\dots E_1\to E_0$.

Et, à bijection près, on a

$\varprojlim E_n = \cap_{n\in\N} E_n$.

• Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit.
• Dans une catégorie, la limite inductive est la limite projective de la catégorie opposée.

Limite projective de structures algébriques

Dans la catégorie des magmas, des monoïdes, des groupes, des anneaux, des A-modules, des K-espaces vectoriels, on peut construire la limite de n'importe quel système projectif. (Dans celle des corps, pas toujours : il n'y a pas de produits.)

En effet, soient $(I,\leq)$ un ensemble ordonné et $(E_i,f_i^j)$ un système projectif indexé par I de magmas (ou de toute autre structure algébrique parmi la liste ci-dessus). Le produit cartésien $\prod_{i\in I}E_i$ peut être muni de la structure de produit direct pour laquelle les projections canoniques sont des morphismes. De plus la limite projective ensembliste est stable pour la loi produit (ou les diverses lois). Munie de cette (ou ces) loi(s), la limite projective ensembliste vérifie les axiomes de la structure algébrique en question, et la propriété universelle de la limite projective.

Exemple

Soit p un nombre premier. Pour deux entiers naturels n ≤ m, l'inclusion $p^m\Z\subset p^n\Z$ d'idéaux de l'anneau $\Z$ induit un morphisme canonique $f_n^m:\Z/p^m\Z\to\Z/p^n\Z$. L'anneau des entiers p-adiques $\Z_p$ est défini comme la limite du système projectif $(\Z/p^n\Z,f_n^m)$ indexé par $\N$. Un entier p-adique est alors une suite $(\overline{a_n})_{n\in\N}$ telle que $\overline{a_n}\in\Z/p^n\Z$ et que, si n < m, $a_n\equiv a_m\mod p^n$.

Limite projective d'espaces topologiques

Soient $(I,\leq)$ un ensemble ordonné filtrant et $(E_i)_{i\in I}$ un système projectif d'espaces topologiques, les applications $(f_i^j$) étant donc continues.

Le produit cartésien $\prod_{i\in I}E_i$ peut être muni de la topologie produit pour laquelle les projections canoniques sont des continues. La topologie induite sur la limite projective ensembliste vérifie la propriété universelle de la limite projective.

Généralisation

Dans une catégorie quelconque, pour que les limites projectives existent, il suffit que le produit existe et les noyaux des doubles flèches existent.

Dans une catégorie C, étant données deux flèches $f:X\to Y$ et $g:X\to Y$, on appelle noyau de la double flèche (f,g), un objet N muni d'une flèche $n:N\to X$ tel que pour toute flèche $h:Z\to X$ telle que $f\circ h = g\circ h$, il existe une unique flèche $\bar{f} :Z\to N$ telle que $n\circ \bar{f} =f$. Le noyau est défini de façon plus simple dans les catégories abéliennes.

Note et références

1. ↑ Certains auteurs^{[réf. souhaitée]} définissent la limite projective uniquement lorsque I est un ensemble ordonné filtrant (à droite). Bourbaki, Éléments de mathématique n'impose pas cette restriction pour les limites projectives d'ensembles (E III.51 §7) d'espaces topologiques (TG I.28 § 4) ou de structures algébriques (A I.112 §10), mais seulement pour les limites inductives.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse limit » (voir la liste des auteurs)
• Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]

Voir aussi

Groupe profini