Livre IX des Éléments d'Euclide


Livre IX des Éléments d'Euclide

Le Livre IX des Éléments d'Euclide poursuit l'étude de l'arithmétique, commencée dans les livres VII et VIII. On y prouve plusieurs théorèmes majeurs : l'infinité des nombres premiers, la somme des termes d'une suite géométrique et la forme des nombres parfaits pairs.

Il comporte 36 propositions.

Les propositions

Elles concernent :

  • Propriétés des nombres carrés et cubes. Deux nombres plans semblables ont pour produit un carré (prop.1) et réciproquement (prop.2). Le carré d'un cube est un cube (prop.3). Le produit de deux cubes est un cube (prop.4 à 6). Dans une suite géométrique d'entiers débutant par l'unité, les termes de rang 2n+1 sont des carrés, les termes de rang 3n+1 sont des cubes. Les termes de rang 6n+1 un carré et un cube simultanément (prop.8). Si le second terme est un carré, tous les termes sont des carrés. Si le second terme est un cube, tous les termes sont des cubes (prop.9 et 10).
  • Propriétés des suites géométriques. On poursuit l'étude des suites géométriques d'entiers, commencée dans le Livre VIII. Si une suite géométrique débute par l'unité, alors un nombre premier divisant le dernier terme divise aussi le second (prop.12). Si le second terme est un nombre premier, aucun autre nombre premier ne divisera le plus grand (prop.13). Si une suite géométrique est constituée de trois termes premiers entre eux, la somme de deux termes est première avec le troisième (prop.15). La prop.35 donne l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique : si tant de nombres qu'on voudra sont successivement proportionnels, et si du second et du dernier terme on retranche un nombre égal au premier, l'excès du second sera au premier comme l'excès du dernier est à la somme de tous ceux qui sont avant lui.
  • Propriété des nombres premiers. La prop.20 est l'une des plus connues. Elle énonce que les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers, autrement dit, ils sont en quantité infinie. La démonstration consiste à prendre des nombres premiers en quantité donnée, a, b, c, ..., et à ajouter 1 à leur PPCM. Euclide montre alors que tout diviseur premier (ou lui-même s'il est premier) est un nouveau nombre premier.
  • Propriétés de parité des entiers. Les prop.21 à 34 énoncent un certain nombre de propriétés sur la parité des entiers, par exemple, la somme d'un nombre pair d'entiers impairs est paire (prop.22), le produit d'un impair par un impair est impair (prop.29).
  • Forme des nombres parfaits pairs. Le livre se termine par la prop.36, qui donne la forme des nombres parfaits pairs : si, à partir de l'unité, tant de nombres qu'on voudra sont successivement proportionnels en raison double, jusqu'à ce que leur somme soit un nombre premier, et si cette somme multipliée par le dernier nombre fait un nombre, le produit sera un nombre parfait. Ainsi, 1 + 2 = 3 et 3 \times 2 = 6 qui est parfait. Ou bien 1 + 2 + 4 = 7 et 7 \times 4 = 28 qui est parfait. La condition donnée par Euclide est seulement suffisante pour obtenir un nombre parfait pair, et c'est Euler qui prouvera qu'elle est nécessaire.

Bibliographie

  • Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert Blanchard 1993)
  • Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]

Lien externe

Document en ligne sur le site Gallica de la BNF


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Livre IX des Éléments d'Euclide de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Livre II Des Éléments D'Euclide — Le Livre II des Éléments d Euclide contient ce qu on appelle habituellement et à tort l algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s interpréter algébriquement, ce que n ont pas manqué de faire les mathématiciens …   Wikipédia en Français

  • Livre II des Elements d'Euclide — Livre II des Éléments d Euclide Le Livre II des Éléments d Euclide contient ce qu on appelle habituellement et à tort l algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s interpréter algébriquement, ce que n ont pas… …   Wikipédia en Français

  • Livre I Des Éléments D'Euclide — Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre …   Wikipédia en Français

  • Livre I des Elements d'Euclide — Livre I des Éléments d Euclide Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou… …   Wikipédia en Français

  • Livre i des éléments d'euclide — Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre …   Wikipédia en Français

  • Livre ii des éléments d'euclide — Le Livre II des Éléments d Euclide contient ce qu on appelle habituellement et à tort l algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s interpréter algébriquement, ce que n ont pas manqué de faire les mathématiciens …   Wikipédia en Français

  • Livre III Des Éléments D'Euclide — Le livre III des Éléments d Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d un point par rapport à un cercle). Il comporte : 11 définitions 37 propositions Les définitions Dans… …   Wikipédia en Français

  • Livre III des Elements d'Euclide — Livre III des Éléments d Euclide Le livre III des Éléments d Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d un point par rapport à un cercle). Il comporte : 11 définitions 37… …   Wikipédia en Français

  • Livre iii des éléments d'euclide — Le livre III des Éléments d Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d un point par rapport à un cercle). Il comporte : 11 définitions 37 propositions Les définitions Dans… …   Wikipédia en Français

  • Livre X des Éléments d'Euclide — Le livre X des Éléments d Euclide est le plus volumineux des treize livres constituant les Éléments. Il a pour objet une classification des grandeurs irrationnelles en fonction de la complexité avec laquelle elles ont été formées. Les opérations… …   Wikipédia en Français

  • Livre I des Éléments d'Euclide — Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.