Méandre (mathématiques)

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Un exemple de méandre

Un méandre est, en mathématiques, une configuration dans le plan ℝ² formée par deux courbes planes simples se coupant transversalement. Intuitivement, un méandre peut être vu comme une route coupant une rivière à travers un certain nombre de ponts. On dit méandre ouvert dans le cas où les deux courbes sont isotopes à des droites du plan et méandre fermé dans le cas où une courbe est fermée et l'autre isotope à une droite.

Dans le cas ouvert, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie une des deux courbes sur une ligne droite L, et le nombre de points de croisements est un nombre entier positif n.

Dans le cas fermé, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie la courbe non compacte sur une ligne droite L, et le nombre de points de croisements est un nombre entier positif pair 2n.

Deux méandres sont dits équivalents s'ils sont isotopes dans le plan ℝ².^{[réf. nécessaire]}

Les méandres sont des objets difficiles à compter. On ne connaît pas de formule pour le nombre M_n de méandres ayant n intersections.

On peut colorier en noir et blanc les régions du plan déterminées par un méandre en alternant.

Nombres méandriques

Le nombre de méandres distincts d'ordre n est le nombre méandrique M_n. La suite A005315 de l’OEIS des nombres méandriques commence par :

M₁ = 1, M₂ = 2, M₃ = 8, M₄ = 42, M₅ = 262, M₆ = 1 828.

Méandre ouvert

Dans le cas ouvert, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie une des deux courbes sur une ligne droite L, et le nombre de points de croisements est un nombre entier strictement positif n.

Étant donnée une droite fixée orientée L dans le plan euclidien $\mathbb{R}^2\,$, un méandre ouvert d'ordre n est une courbe orientée qui ne se coupe pas dans $\mathbb{R}^2\,$ qui coupe transversalement la droite à n points pour un certain entier positif n. Deux méandres ouverts sont dits équivalents s'ils sont homéomorphes dans le plan.^{[réf. nécessaire]}

Exemples

Le méandre ouvert d'ordre 1 coupe la droite une fois :

Le méandre ouvert d'ordre 2 coupe la droite deux fois :

Nombres méandriques ouverts

Le nombre de méandres ouverts distincts d'ordre n est le nombre méandrique ouvert m_n. La suite A005316 de l’OEIS des nombres méandriques ouverts commence par :

m₁ = 1, m₂ = 1, m₃ = 2, m₄ = 3, m₅ = 8, m₆ = 14.

Semi-méandre

Étant donnée une demi-droite R dans le plan euclidien $\R^2\,$, un semi-méandre d'ordre n est une courbe qui ne se coupe pas dans $\R^2\,$ qui coupe transversalement la demi-droite à n points pour un certain entier positif n. Deux semi-méandres sont dits être équivalents s'ils sont homéomorphes dans le plan.

Exemples

Le semi-méandre d'ordre 1 coupe la demi-droite une fois :

Semi-meander M1 jaredwf.png

Le semi-méandre d'ordre 2 coupe la demi-droite deux fois :

Meander M1 jaredwf.png

Nombres semi-méandriques

Le nombre de semi-méandres distincts d'ordre n est le nombre semi-méandrique M_n (généralement noté avec une ligne au-dessus à la place d'une ligne en dessous). La suite A000682 de l’OEIS des nombres semi-méandrique commence par :

M₁ = 1, M₂ = 1, M₃ = 2, M₄ = 4, M₅ = 10, M₆ = 24.

Propriétés des nombres méandriques

Il existe une fonction injective des nombres méandriques vers les nombres méandriques ouverts : M_n = m_2n-1.

Chaque nombre méandrique peut être encadré par des nombres semi-méandriques :

M_n ≤ M_n ≤ M_2n

Pour n > 1, les nombres méandriques sont pairs.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Meander (mathematics) » (voir la liste des auteurs)