Nombre premier sexy

Nombres premiers sexy

En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy est un couple de nombres premiers qui diffèrent de six unités (autrement dit, un couple de la forme « (p,p+6) », p étant un nombre premier). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11.

Le terme « sexy » est un jeu de mot basé sur le mot latin pour « six » : sex.

Groupements

Couples

Les couples de nombres premiers sexy (suites A023201 et A046117 dans l'OEIS) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu est (p, p+6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen^[1].

Triplets

Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites A046118, A046119 et A046120 dans OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12) pour :

p = (84055657369 × 205881 × 4001# × (205881 × 4001# + 1) + 210) × (205881 × 4001# - 1) / 35 + 1.

Découvert par Ken Davis, il comporte 5 132 chiffres^[2].

Quadruplets

De façon similaires, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par « 1 ». Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites A046121, A046122, A046123 et A046124 de l'OEIS) sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659)

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12, p+18) pour

p = 411784973 × 2347# + 3301

Il a été découvert par Jens Kruse Andersen et comporte 1 002 chiffres^[1].

Quintuplet

Comme chaque cinquième nombre de la forme 6n ± 1 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5,11,17,23,29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.).

Voir aussi

Liens internes

• Conjecture de De Polignac
• Nombres premiers jumeaux (deux nombres premiers différant de 2)
• Nombres premiers cousins (deux nombres premiers différant de 4)

Liens externes

• (en) MathWorld: Sexy Primes

Références

1. ↑ ^{a  et b} (en) Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.
2. ↑ (en) The Largest Known CPAP's, sur le site de Jens Kruse Andersen.

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