Arctan

Fonction arctangente

Représentation graphique

La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais $\textbf{arctan}$. La notation tan ^{− 1}, souvent utilisée sur les calculatrices de poche, est à proscrire, car elle prête à confusion avec le rapport 1 / tan.

Concrètement, si x appartient à ]-½π ; ½π[ et y appartient à $\R$ :

$y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y$

La courbe représentative de la fonction arctangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-½π ; ½π[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arctangente est :

$\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots$

Cette série entière converge quand $|x|\le 1$ et $x\neq\pm i$. La fonction arctangente est cependant définie sur tout $\R$.

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots$

La formule de Machin, plus sophistiquée,

$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle

De arctan(¹⁄_x) on peut déduire arctan(x) et inversement :

$\forall x\in{\R_+^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= \frac{\pi}{2}$

$\forall x\in{\R_-^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= -\frac{\pi}{2}$

Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la dérivée est nulle. On a :

$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

et

$\left(\arctan\frac{1}{x}\right )' = \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+{\frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{1+x^2}$

donc

$\left(\arctan \frac{1}{x} + \arctan x\right)' = 0$

On en déduit que arctan(¹⁄_x) + arctan(x) est constante par morceau sur chaque intervalle de son ensemble de définition, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant la valeur prise en x = 1 et x = − 1.

Fonction réciproque

Par définition, la réciproque $\left] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y$

Dérivée

$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

que l'on démontre très facilement en dérivant les 2 membres de la relation : tan(arctan(x)) = x

Démonstration détaillée

On utilise la formule de la dérivation d'une composée de fonction :

$\forall x \in \mathbb R \quad \frac d{dx} \tan\circ \arctan (x) = \left(\frac d{dx} \tan\right)\circ \arctan (x)\cdot \frac d{dx} \arctan (x)$

En utilisant la formule de la dérivée d'une tangente, on obtient :

$\frac d{dx} \tan\circ \arctan (x) = \Big( 1 + (\tan \circ \arctan)^2 (x)\Big)\cdot \frac d{dx} \arctan (x)= (1+x^2)\cdot \frac d{dx}\arctan (x)$

Comme les fonctions tangente et arctangente sont réciproques, leur composition est égale à la fonction identité de dérivée constante 1. On en déduit l'expression recherchée :

$(1+x^2)\cdot \frac d{dx}\arctan (x) = 1\quad \text{et}\quad \forall x \in \mathbb R \quad \frac d{dx}\arctan(x) = \frac 1{1+x^2}$

 

Logarithme complexe

On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :

$\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)$

Démonstration détaillée

On réécrit la dérivée de la fonction arctangente :

$\begin{align}\arctan'(x) & = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(\mathrm ix)^2} = \frac{1}{(1-\mathrm ix)(1+\mathrm ix)} = \frac{1}{2} \frac{(1-\mathrm ix)+(1+\mathrm ix)}{(1-\mathrm ix)(1+\mathrm ix)} \\ \ & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+\mathrm ix} + \frac{1}{1-\mathrm ix}\right) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\frac{\mathrm i}{1+\mathrm ix} - \frac{-\mathrm i}{1-\mathrm ix}\right) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\ln'(1+\mathrm ix) - \ln'(1-\mathrm ix)\right) \end{align}$

On intègre de chaque côté :

$\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\ln(1+\mathrm ix) - \ln(1-\mathrm ix)\right) + C = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right) + C$

Enfin, on calcule la constante d’intégration C en x = 0 :

$C \underset{x=0}{=} \arctan(x) - \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right) = \arctan(0) - \frac{1}{2\mathrm i} \ln(1) = 0$

On trouve donc finalement :

$\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)$

 

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arctangente est

$\int \arctan(x)\;\mathrm dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln\left(1 + x^2\right)$

Utilisation de la fonction arctangente

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

$\frac1{ax^2+bx+c}$

Si le discriminant D = b² − 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$

qui donne pour l'expression à intégrer

$\frac{4a}{|D|}\cdot\frac1{1+u^2}$

L'intégrale est alors

$\frac{2}{\sqrt{|D|}} \arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}\right)$

Formule remarquable

Nous avons la formule suivante :

$\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right) + \arctan\left(\frac{x}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}.$

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