Polynôme symétrique

En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines.

Définition

Soit A un anneau commutatif unifère. Un polynôme Q(T₁,...,T_n) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1,...,n}, l'égalité suivante est vérifiée :

$Q(T_1,\dots,T_n)=Q(T_{s(1)},\dots,T_{s(n)}).$

Pour n = 1, tout polynôme est symétrique. Pour n = 2, le polynôme T₁+T₂ est symétrique alors que le polynôme T₁+T₂² ne l'est pas.

Polynômes symétriques élémentaires

Les polynômes symétriques forment une sous-A-algèbre associative unifère de A[T₁,...,T_n]. Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires comme on verra ci-après.

Définition

Pour 1 ≤ k ≤ n, le k^e polynôme symétrique élémentaire σ_k(T₁, ...,T_n) est défini par :

$\prod_{i=1}^n (X-T_i)=X^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma_k(T_1,\dots,T_n)X^{n-k}.$

D'après cette définition, si un polynôme unitaire R(X) de degré n en une indéterminée admet une factorisation

$R(X)=X^n+\sum_{k=1}^n a_kX^{n-k}=\prod_{i=1}^n(X-z_i)$

en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme R sont donnés comme fonctions symétriques des racines z_i, c'est-à-dire :

$a_k=(-1)^k\sigma_k(z_1,\dots,z_n).$

Une définition équivalente des polynômes symétriques élémentaires est :

$\sigma_k(T_1, \cdots, T_n)=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}T_{i_1}\times T_{i_2}\times \cdots \times T_{i_k}.$

Ou plus formellement, en désignant par S_k l'ensemble des applications strictement croissantes de l'ensemble {1,2,...,k} dans l'ensemble {1,2,...,n} :

$\sigma_k(T_1, \cdots, T_n)=\sum_{s\in S_k}\prod_{i=1}^kT_{s(i)}.$

En particulier,

$\sigma_1(T_1,\dots,T_n)=T_1+\dots+T_n$

et

$\sigma_n(T_1,\dots,T_n)=T_1\times\dots\times T_n$.

Théorème

Pour tout polynôme symétrique Q(T₁,...,T_n) à coefficients dans A, il existe un unique polynôme P en n indéterminées à coefficients dans A tel que

$Q(T_1,\ldots,T_n)=P(\sigma_1(T_1,\ldots,T_n),\ldots,\sigma_n(T_1,\ldots,T_n)).$

Plus formellement : le morphisme d'algèbres

$A[X_1,\ldots,X_n]\to A[T_1,\ldots,T_n]$

$P(X_1,\ldots,X_n)\mapsto P(\sigma_1(T_1,\ldots,T_n),\ldots,\sigma_n(T_1,\ldots,T_n))$

est injectif, et a pour image la sous-algèbre des polynômes symétriques.

Ou encore : les polynômes symétriques élémentaires engendrent la sous-algèbre unifère des polynômes symétriques, et sont algébriquement indépendants sur A.

Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton si A contient le corps des nombres rationnels.

Référence

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chapitre V, § 9